§ 6. Однополостный гиперболоид.
Уравнение поверхности, полученной от вращения гиперболы
около оси 
будет:
(гл. VI, § 4). Это уравнение определяет поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Пересекая его плоскостью 
параллельной плоскости хОу, получим в сечении окружность, уравнения которой будут
н радиус которой равен
Следовательно, при изменении h от 
до 
окружность (13) описывает одпополостный гиперболоид вращения.
Возьмем теперь вместо окружности (13) эллипс
лежащий в плоскости 
параллельной плоскости 
полуоси которого суть:
При изменении h от 
до 
этот эллипс описывает поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (14):
Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (II), называется однополостным гиперболоидом, а величины а, b, с — его полуосями.
Пересекая поверхность (II) плоскостями координат 
получим в сечении соответственно эллипс и две гиперболы:
Как следует из предыдущего, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью 
параллельной плоскости 
получается эллипс (14) с полуосями (15). При изменении h от 
до 
эти полуоси изменяются, оставаясь пропорциональными полуосям а и b эллипса, лежащего в плоскости 
и мы можем однополостный гиперболоид рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость которого остается параллельной
плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят по гиперболам (16) в плоскостях 
Если 
то уравнение (II) определяет однополостный гиперболоид вращения с осью вращения 
Рис. 121.
Уравнение (II) содержит только квадраты координат, откуда следует, что однополостный гиперболоид симметричен относительно начала координат, а плоскости координат являются его плоскостями симметрии.
