§ 2. Сложение векторов.

Известные из механики законы сложения векторных величин (сил, ускорений, скоростей) служат основанием следующего определения сложения векторов. Суммой двух векторов А и В называют такой третий вектор С, выходящий из их общего начала, который служит диагональю параллелограмма, сторонами которого являются слагаемые векторы (рис. 94), и обозначают:

Рис. 94.

Если два вектора А и В после приведения их к общему началу лежат на одной прямой, то сумма их С есть по определению вектор, длина которого равна сумме длин слагаемых векторов и направление совпадает с направлением этих векторов, если последние одинаково направлены; если же слагаемые векторы направлены в разные стороны, то сумма их С есть вектор, длина которого равна разности длин слагаемых векторов и направление совпадает с направлением вектора, имеющего большую длину. В случае равенства длин противоположно направленных векторов их сумма еегь особый «вектор», длина которого равна нулю. Такой вектор называют нулевым вектором и обозначают символом 0.

Посмотрим теперь, будет ли сложение векторов удовлетворять основным законам, которым подчиняется сложение чисел. Для сложения чисел мы имеем два основных закона.

1. Закон переместительности.

т. е. сумма не зависит от порядка слагаемых.

2. Закон сочетательности:

т. е. чтобы прибавить сумму, можно прибавить последовательно каждое слагаемое.

Первый закон, очевидно, удовлетворяется, что непосредственно вытекает из определения сложения векторов:

Чтобы перейти ко второму закону (сочетательности), следует предварительно выяснить понятие суммы нескольких слагаемых.

Рис. 95.

С этой целью упростим сначала самое построение суммы двух векторов. Мы условились считать равными векторы, имеющие одинаковую длину, параллельные и одинаково направленные. В силу этого векторы ОВ и АС (рис. 94) равны между собой. Отсюда вытекает такое правило сложения двух векторов: в конце первого слагаемого строим второе слагаемое. Вектор, замыкающий эту ломаную, есть сумма. Начало его совпадает с началом первого слагаемого, а конец — с концом второго.

Это правило треугольника нетрудно теперь распространить на любое число слагаемых. Пусть, например, требуется найти сумму трех векторов А, В и С:

причем под их суммой мы будем подразумевать результат последовательного прибавления к А сначала В и затем С. Другими словами, если

то согласно определению будет:

По предыдущему правилу треугольника строим сначала сумму (рис. 95), т. е. в точке строим вектор и соединяем

точку О с точкой Затем к полученной сумме прибавляем вектор С, т. е. в конце ОЕ строим вектор ED — Q, и соединяем точку О с точкой

Тогда

Отсюда вытекает такое правило сложения векторов: чтобы построить сумму любого числа векторов, нужно в конце первого слагаемого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, представляет искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого слагаемого, а конец — с концом последнего.

Рис. 96.

В случае сложения трех векторов, не параллельных одной плоскости, сумму их можно получить и другим способом. Пусть векторы А, В, С приведены к общему началу .

Построим на этих векторах параллелепипед (рис. 96). По предыдущему правилу

но отрезок OD является диагональю параллелепипеда, таким образом сумма данных векторов равна вектору-диагонали параллелепипеда, ребрами которого являются слагаемые векторы.

Рис. 97.

Заметим, что если бы слагаемые векторы были параллельны одной плоскости (такие векторы называются компланарными), то мы не могли бы построить на них параллелепипед.

Теперь перейдем к доказательству закона сочетательности:

По правилу сложения векторов (рис. 97)

но тому же вектору OD равна и сумма так как

Итак, равенство (3) доказано.

Из переместительного и сочетательного законов вытекает, что при нахождении суммы любого числа векторов можно складывать данные векторы в произвольном порядке.

Заметим, что по отношению к обычной сумме чисел существуют еще различные законы монотонности — о сравнительной величине слагаемых и суммы, как, например, сумма положительных слагаемых больше каждого из слагаемых. Все эти законы не имеют смысла для суммы векторов, потому что понятия «больше» и «меньше» неприложимы к векторам.

Рис. 98.