§ 8. Эксцентриситет и директрисы эллипса.
Как известно из § 3, эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых его фокусами, есть величина постоянная. Обозначая через 
расстояния любой точки 
эллипса соответственно до его правого и левого фокусов F, и 
(рис. 50), мы имеем согласно вышеупомянутому определению эллипса:
С другой стороны, применяя формулы расстояния между двумя точками, мм получим (гл. IV, § 3):
где х, у обозначают координаты точки М эллипса, а с — половину фокусного расстояния 
Возводя два последних равенства в квадрат и вычитая, находим:
Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получаем:
Из уравнений (7) и (8), считая в них искомыми величинами 
мы определяем последние. С этой целью, переписав уравнение (8) в виде
воспользуемся уравнением (7), что нам даст:
Решая полученное уравнение совместно с уравнением (7), найдем 
Величина 
входящая в последние формулы, называется эксцентриситетом эллипса; мы будем обозначать ее через е. Очевидно, 
есть отношение фокусного расстояния 
к длине большой
оси 2а, причем 
так как 
(для окружности 
). Таким образом, мы имеем следующие формулы для фокальных радиусов 
Рассмотрим прямую 
параллельную оси Оу, и найдем, во-первых, расстояние 
, произвольной точки 
эллипса от его правого фокуса и, во-вторых, — расстояние 
этой точки М от прямой 
(рис. 57). Вычислим отношение этих расстояний.
Рис. 57.
Так как 
то
Если 
то написанное отношение будет сохранять постоянное значение, равное 
.
В силу симметрии то же заключение можно сделать относительно левого фокуса 
и прямой с уравнением
Эти две прямые, перпендикулярные к фокальной оси эллипса и отстоящие на расстояние 
от его центра, называются директрисами эллипса. Как мы выяснили, они обладают следующим свойством: отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса а соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная 
.
Пример. Найти эксцентриситет и директрисы эллипса 
Написав уравнение эллипса в виде:
заключаем, что 
Следовательно, 
откуда
Директрисы проходят на расстоянии от центра эллипса (начала координат), т. е. на расстоянии, равном 
Уравнения директрис
