§ 7. Общее исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

Обращаясь теперь к исследованию неоднородной системы

рассмотрим отдельно ряд случаев.

I. Если определитель А этой системы отличен от пуля, то система эта имеет единственное решение, выражаемое формулами (22) (§ 5).

П. Предположим, что определитель А равен нулю, по по крайней мере один из его миноров, за который мы можем принять, не уменьшая общности,

отличен от нуля. В этом случае, как мы видели в § 6, левые час уравнений (26) связаны линейной зависимостью (24). Отсюда вытекает, что если система (26) допускает решение, то и правые части уравнений этой системы должны удовлетворять той же линейной зависимости, т. е. должно быть:

Итак, случай II подразделяется на два;

Если

то система (26) несовместна, т. е. не имеет никакого решения.

то будут иметь место два равенства:

из которых первое выполняется тождественно относительно х, у, z, как это было установлено в § 6, а второе получается из данного условия разложением по элементам последнего столбца.

Вычитая из первого равенства второе, получаем тождество

откуда усматриваем, что третье из уравнений (26), а именно есть следствие первых двух: Чтобы найти решение системы (26), остается решить совместно первые ее два уравнения, которые можно переписать в виде:

Таким образом, решение этой системы, а следовательно, и системы (26), будет вида:

где z остается произвольным.

III. Пусть, наконец, определитель А и все его миноры равны нулю. Не уменьшая общности, можно считать . В этом случае, как было показано в § 6, будут иметь место две линейные зависимости (25) между левыми частями уравнений (26). Если данная система допускает решение, то и правые части должны удовлетворять теи же зависимостям, а именно:

и случай III подразделяется на дна:

III. Если хотя бы один из определителей

отличен от нуля, то система (26) несовместна, т. е. не имеет решений.

112. Если же одновременно

то будут иметь место равенства:

из которых первые два выполняются тождественно относительно х, у, z, как это было установлено в § 6, а вторые два выражают условия разбираемого случая .

Из последних равенств попарным вычитанием получаем:

откуда мы усматриваем, что последние два из уравнений (26) суть следствия первого уравнения.

Таким образом, система (26) приводится к одному первому уравнению; решая его относительно х, получим решение системы (26):

где у и z остаются произвольными.

Резюмируя исследования настоящего параграфа, приходим к следующим предложениям:

Если определитель А неоднородной системы (26) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам (22).

Если определитель А равен нулю, но по крайней мере один из его миноров отличен от нуля, то система (26) либо несовместна, либо неопределенна. В первом случае среди определителей 3-го порядка, принадлежащих таблице

есть по крайней мере один, отличный от нуля, во втором случае все эти определители равны нулю, и система (26) приводится к двум уравнениям.

Если, наконец, вместе с определителем системы (26) все его миноры равны нулю, то система (26) либо несовместна, либо неопределенна. В первом случае среди определителей 2-го порядка, принадлежащих таблице (27), есть хоть один, отличный от нуля, во втором же случае все определители 2-го порядка этой таблицы равны нулю, и система (26) приводится к одному уравнению.

Пример 1. Решить систему

Определитель системы

но среди его миноров есть отличный от нуля, например: Среди определителей 3-го порядка таблицы

имеется определитель, отличный от нуля, например!

Следовательно, данная система не имеет решения, что непосредственно очевидно, если сложить первые два уравнения и сравнить результат с трещим уравнением.

Пример 2. Решить систему

Определитель системы — тот же, что и в предыдущем примере, следовательно, , но среди его мнноров есть отличный от нуля. Определители 3-го порядка таблицы

все равны нулю. Следовательно, данная система приводится к двум уравнениям, что непосредственно становится ясным, если сложим первые два уравнения.

Решая совместно первые два уравнения, получим!

где произвольно.

Пример 3. Решить систему

Определитель системы

Все его миноры тоже равны нулю. Среди определителей 2-го порядка таблицы

есть отличный от нуля. например Следовательно, динная система несовместна, в чем убеждаемся непосредственно, умножив первое уравнение на 2 или на 3.

Пример 4. Решить систему

Определитель системы — тот же, что и предыдущем примере значит, и все его маноры тоже равны пулю. Определители 2-го порядка таблицы

все равны нулю. Следовательно, данная система приводится к одному уравнению, в чем непосредственно убеждаемся, если сократим второе уравнение на 2, а третье на 3 Остается решить первое уравнение, чтобы получить решение данной системы. Таким образом, находим:

где произвольны.