§ 10. Площадь треугольника.

Даны вершины треугольника. (рис 23). Выразим площадь треугольника через координаты его вершин

Пусть — угол между направленными отрезками СА и СВ (т. е. угол, на который нужно повернуть отрезок СА вокруг точки С, чтобы его направление совпало с направлением отрезка СВ, как и обычно, угол будем рассматривать со знаком).

Как известно, площадь треугольника

Так как , где — углы между осью Ох и направленными отрезками СА и СВ, то

Используя формулы (15) предыдущего параграфа, получим:

Тогда для площади треугольника будем иметь следующее выражение:

Пользуясь понятием определителя (гл. VI, § 1), можно полученную формулу представить в виде

В формуле (17) нужно взять знак или смотря по тому, будет ли определитель положительным или отрицательным.

В частности, если вершина С лежит в начале координат, то и мы получим:

Пример. Определить площадь треугольника ABC, вершины которого суть

Здесь Следовательно, по формуле (17) площадь треугольника ABC равна:

Если три точки А, В, С лежат на одной прямой, то треугольник ABC вырождается в отрезок и имеет площадь, равную нулю, т. е. . В этом случае формула (17) для 5 обратится в равенство

или

что можно записать в виде пропорции:

Последнее равенство связывает координаты трех точек А, В, С тогда и только тогда, когда эти точки лежат на одной прямой. Следовательно, написанная пропорция выражает условие, при котором три точка лежат на одной прямой.

Пример 1. Узнать, лежат ли точки на одной прямой.

Здесь . Условие (18) обращается в следовательно, удовлетворяется. Таким образом, три данные точки лежат на одной прямой.

Пример 2. При каком условии точки и начало координат лежат на одной прямой?

Здесь координаты третьей точки у, равны нулю, и условие (18) переходит в равенство:

т. е. две точки лежат на одной прямой с началом координат тогда, когда их координаты пропорциональны.

Замечание. Переход от (18) к (18) можно сделать лишь при условии, что ни одно из чисел — не равно нулю. Однако, так как равенство (18) более удобно для запоминания, то условимся записывать его и в случае обращения знаменателей в нуль. Только тогда, конечно, эту запись нужно будет понимать не буквально, так как на нуль делить нельзя, а условно. Будем считать, что равенство (18) всегда означает то же, что (18), т. е. что произведение крайних членов равно произведению средних членов Например, значит, что .