§ 6. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть заданы две точки . Проведем через них прямую и установим на ней произвольно положительное направление. Пусть -некоторая точка этой оси. Где бы ни располагалась точка М — внутри отрезка АВ или на его продолжении в ту или другую сторону — условимся говорить, что она делит направленный отрезок АВ. При этом если точка М лежит между А и В, будем говорить, что она делит отрезок АВ внутренним образом; если же точка/И будет лежать на продолжении отрезка, то будем говорить, что она делит отрезок внешним образом.

Назовем отношением, в котором точка М делит направленный отрезок АВ, число

Если точка М делит отрезок АВ внутренним образом, то отрезки AM и MB имеют одно и то же направление, а величины их — один знак и, следовательно, отношение положительно. Если точка М совпадет с началом А отрезка, то по мере приближения делящей точки М к концу В отрезка отношение неограниченно возрастает, так как знаменатель (вел MB) стремится к нулю. Случай совпадения делящей точки с концом В отрезка следует исключить, так как отношение в этом случае теряет смысл (знаменатель дроби обращается в нуль).

Если точка М делит отрезок внешним образом, то при любом расположении отрезки AM и MB противоположно направлены, а величины их имеют противоположные знаки и, следовательно, отношение , в котором точка М делит направленный отрезок АВ, отрицательно. При этом ясно, что если делящая точка М лежит вне отрезка АВ за его началом, то абсолютная величина отношения меньше единицы; если же М лежит на продолжении отрезка за его концом, то (заметим, что ни при каком положении делящей точки М отношение не может быть равным —1).

Рис. 9

Таким образом, каждому положению точки М на прямой (кроме случая, когда М совпадает с концом рассматриваемого отрезка) соответствует определенное значение отношения .

Так, например, на рис 9 точка М делит отрезок А В в отношении . Та же точка делит отрезок ВА в отношении . Точка делит отрезок АВ внешним образом в отношении точка делит тот же отрезок АВ в отношении

Рис. 10.

Задачу о делении отрезка в данном отношении следует понимать так: даны две точки и дано отношение , в котором некоторая точка делит направленный отрезок требуется найтн координаты х, у точки М.

Пусть суть проекции точек А, М, В на ось Ох (рис. 10). Прямые параллельны и, следонатольно,

рассекают прямую АВ и ось Ох на пропорциональные части, так что

Аналогичным равенством связаны и величины направленных отрезков

Действительно, модули обеих частей равенства (5), как только что показано, одинаковы; знаки же их тоже совпадают, так как при любом расположении точки относительно отрезка АВ (внутри или вне его с той или другой стороны) точка 5 всегда будет иметь аналогичное расположение относительно отрезка Так как

(гл. I, § 3) и по условию

то пропорция (5) заменится равенством

откуда

т. е.

Вынося в левой части за скобку, получим;

и, наконец,

Чтобы получить ординату у точки нужно проектировать точки А, М, В на ось ординат; аналогично предыдущему получим;

Формулы (6) и (7) решают поставленную задачу. Из этих формул следует, что каждому значению X соответствует некоторая точка М прямой АВ. Исключение представляет значение при котором формулы теряют смысл.

Полагая в формулах (6) и найдем координаты середины отрезка:

т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам одноименных координат его начала и конца.

Замечание. При выводе формул (6) и (7) мы предполагали, что прямая АВ не параллельна ни одной из координатных осей. Однако формулы будут справедливы и в этом случае. Действительно, если прямая АВ параллельна оси Оу, то и формула (6) останется в силе. Точно так же и формула (7) останется справедливой, если прямая АВ будет параллельна оси

Пример. Найти координаты точки М, делящей отрезок А В между точками в отношении . Здесь

Следовательно,