§ 12. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. Конструкции В. Г. Шухова.

Поверхность, образованная движением прямой, называется линейчатой, а лежащие на пей прямые — прямолинейными образующими.

Примерами таких поверхностей могут служить цилиндрическая и коническая. Среди поверхностей 2-го порядка прямолинейными образующими обладают (кроме конусов и цилиндров) одпополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Рассмотрим однополостный гиперболоид

Его уравнение можно записать в виде

или

Составим систему уравнений первой степени:

где k — произвольное число.

При определенном значении k эти уравнения определяют прямую пинию. Меняя параметр k, мы получим совокупность прямых (семейство прямых). Уравнения (30) составлены так, что почленное перемножение их дает уравнение поверхности (29). Следовательно, всякая точка , координаты которой удовлетворяют системе (30), лежит на поверхности (29). Таким образом, каждая из прямых семейства целиком располагается на поверхности однополостного гиперболоида.

Можно показать, что на поверхности однополостного гиперболоида располагается еще одно семейство прямолинейных образующих, отличное от уже рассмотренного. Оно определяется уравнениями

где I — произвольный параметр.

Кроме того, можно доказать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из этих семейств (рис. 129 и 130).

Рис. 129.

Рис. 130.

При помощи аналогичных рассуждений можно убедиться, что на поверхности гиперболического параболоида

также располагаются два семейства прямолинейных образующих (одно из них изображено на рис. 131). Их уравнения

и

где k и I — произвольные параметры. Через каждую точку поверхности проходит по одной прямой каждого семейства.

Рис. 131.

Наличие прямолинейных образующих у однополостного гиперболоида используется в строительной технике. Идея такого использования и практическое осуществление ее принадлежат известному

русскому инженеру, почетному члену АН СССР Владимиру Григорьевичу Шухову (1853— 1939).

В. Г. Шухов осуществил конструкции мачт, башен и опор, составленные из металлических балок, располагающихся по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Первая такая конструкция была осуществлена В. Г. Шуховым при сооружении опоры высотою в для водонапорного резервуара (1896). Высокая прочность таких конструкций в соединении с легкостью определила их большое распространение в нашей стране и за рубежом.