§ 9. Пересечение прямой с плоскостью.

Пусть даны уравнения прямой линии:

и уравнение плоскости:

Координаты точки пересечения прямой линии (16) с плоскостью (17) должны одновременно удовлетворять уравнениям (16) и (17), а потому для их определения пужио совместно решить эти уравнения, считая за неизвестные.

Приравнивая каждое из равных отношений уравнений (16) вспомогательному неизвестному t, получаем четыре уравнения первой степени с четырьмя неизвестными

Из первых трех уравнений находим соответственно:

Подставляя эти значения х, у и z в четвертое уравнение, получаем:

или

откуда находим:

Внося найденное значение t в формулы (18), получим координаты искомой точки пересечения прямой линии (16) плоскостью (17), Если

то t, вычисленное по формуле (19), имеет определенное конечное значенне; следовательно, в этом случае прямая пересекает плоскость в одной точке. В случае

прямая параллельна плоскости (в силу первого равенства), а точка , через которую прямая проходит, лежит вне плоскости, следовательно, прямая не имеет одной общей точки с плоскостью. Наконец, если

то прямая параллельна данной плоскости (в силу первого равенства) и проходит через точку , лежащую в этой плоскости силу второго равенства); следовательно, прямая вся лежит в плоскости.