§ 15. Касательная.
Рассмотрим точку 
на коническом сечении (эллипсе, гиперболе или параболе) и проведем через нее секущую ММ, (рис. 65). Эта секущая пересекает коническое сечение в двух точках: М и 
Оставляя точку М неподвижной, заставим вторую точку пересечения М, неограниченно приближаться к точке М, следуя по коническому сечению. При этом секущая ММ, будет вращаться около точки 
то предельное положение, которое займет секущая, когда точка 
сольется с М, называется касательной к коническому сечению в точке М. Точка М называется точкой прикосновения. Уравнение касательной как прямой, проходящей через точку 
будет (гл. III, § 9)
где k есть угловой коэффициент касательной в точке М, подлежащий определению. Чтобы определить k, обозначим коордииаты точки 
через 
тогда угловой коэффициент секущей ММ, как прямой, проходящей через две точки 
(гл. III, § 12).
Угловой же коэффициент k касательной будет пределом 
когда 
стремится к нулю (точка стремится к точке М), т. е.
Так как h и 
суть приращения соответственно абсциссы и ординаты точки М коническою сечения, то к является пределом отношения приращения ординаты (функции) к приращению абсциссы (независимого переменного), когда это последнее стремится к нулю. Из дифференциального исчисления известно, что такой предел есть производная от ординаты у по абсциссе х, взятая для точки 
т. е.
где значок 0 указывает, что значение производной нужно брать для точки 
Зависимость же функции у от независимого переменного 
задается уравнением конического сечения.
Пример 1. Составить уравнение касательной к эллипсу 
в точке 
Дифференцируя уравнение эллипса, получим:
Следовательно, 
. Уравнение касательной будет
Умножая на 
, получим:
Так как точка 
лежит на эллипсе, то правая часть последнего уравнения равна 1, и уравнение касательной примет вид:
Пример 2. Составить уравнение касательной к гиперболе 
точке 
Аналогично примеру 1 получим уравнение касательной к гиперболе в виде:
Посмотрим, во что обратится уравнение касательной к гиперболе, если точка 
удалится в бесконечность. Перепишем уравнение касательной в виде;
и заметим, что 
удовлетворяет условию
Заставляя теперь точку 
удаляться в бесконечность, следуя по гиперболе, получим, переходя к пределу в последнем равенстве
Уравнение касательной в пределе примет вид:
Это суть уравнения двух асимптот гиперболы. Таким образом, когда точка касания удаляется в бесконечность, касательная стремится к положению асимптоты гиперболы.
Пример 3. Составить уравнение касательной к параболе 
в точке 
Дифференцируя уравнение параболы, найдем:
Следовательно, 
и уравнение касательной будет
или, умножая на 
Так как точка 
лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы 
Заменяя в уравнении касательной 
его значением, найдем:
Угловой коэффициент касательной в точке 
конического сечения (эллипса, гиперболы, параболы) возможно определить, не применяя дифференциального исчисления. С этой целью заметим, что направление касательной к коническому сечению в точке 
совпадает с направлением хорд, сопряженных диаметру, проходящему через точку 
Следовательно, из условия сопряженности (23) в случае эллипса получим угловой коэффициент 
касательной в точке 
если заменим в нем 
угловым коэффициентом диаметра, проходящего через точку 
заметив, что 
получим:
Аналогично для гиперболы из условия (26) найдем угловой коэффициент касательной к ней в точке 
):
определится из условия прохождения ее диаметра, имеющего уравнение (34) 
через точку 
откуда
