ГЛАВА IV. ПЛОСКОСТЬ

§ 1. Нормальное уравнение плоскости.

Положение плоскости в пространстве будет вполне определено, если зададим ее расстояние от начала О, т. е. длину перпендикуляра ОТ, опущенного из точки О на плоскость, и единичный вектор п°, перпендикулярный к плоскости и направленный от начала О к плоскости (рис. 110).

Рис. 110.

Когда точка М движется по плоскости, то ее радиус-вектор меняется так, что все время связан некоторым условием. Посмотрим, каково это условие. Очевидно, для любой точки лежащей на плоскости, имеем:

Это условие имеет место лишь для точек плоскости; оно нарушается, если точка М лежит вне плоскости. Таким образом, равенство (1) выражает свойство, общее всем точкам плоскости и только им. Согласно § 7 гл. 11 имеем:

и, значит, уравнение (1) может быть переписано в виде:

Уравнение (Г) выражает собой условие, при котором точка ) лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости. Радиус-вектор произвольной точки М плоскости называется текущим радиусом-вектором.

Уравнение (1) плоскости записано в векторной форме. Переходя к координатам и помещая начало координат в начале векторов — точке О, заметим, что проекциями единичного вектора на оси координат служат косинусы углов , составленных осями с этим вектором, а проекциями радиуса-вектора точки М

служат координаты точки , т. е. имеем:

Уравнение (Г) переходит в координатное:

При переводе векторного уравнения (Г) плоскости в координатное уравнение (2) мы воспользовались формулой (15) § 9 гл. 11, выражающей скалярное произведение через проекции векторов. Уравнение (2) выражает собой условие, при котором точка М(х,у, z) лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости в координатной форме. Полученное уравнение (2) — первой степени относительно , т. е. всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени относительно текущих координат.

Заметим, что выведенные уравнения (1') и (2) остаются в силе и тогда, когда , т. е. данная плоскость проходит через начало координат. В этом случае за можно принять любой из двух единичных векторов, перпендикулярных к плоскости и отличающихся один от другого направлением.

Рис. 111.

Замечание. Нормальное уравнение плоскости (2) можно вывести, не пользуясь векторным методом.

Возьмем произвольную плоскость и проведем через начало координат перпендикулярно к ней прямую I. Установим на этой прямой положительное направление от начала координат к плоскости (если бы выбранная плоскость проходила через начало координат, то направление на прямой можно было бы взять любое).

Положение этой плоскости в пространстве вполне определяется расстоянием ее от начала координат, т. е. длиной отрезка оси l от начала координат до точки пересечения ее с плоскостью (на рис. 111 — отрезок ) и углами между осью и координатными осями. Когда точка координатами движется по плоскости, то ее координаты меняются так, что все время связаны некоторым условием. Посмотрим, каково это условие.

Построим на рис. 111 координатную ломаную линию OPSM произвольной точки М плоскости. Возьмем проекцию этой ломаной на ось l. Заметив, что проекция ломаной равна проекции ее замыкающею отрезка (гл. I, § 3), будем иметь:

С другой стороны, известно, что проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 3); следовательно, равенство (3) перепишется так:

Так как проекция отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 3), то

Подставляя эти значения в равенство (4), получим:

или

Как уже указывалось, уравнение (2) выражает собой условие, при котором точка лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости. Полученное уравнение (2) — первой степени относительно , т. е. всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени относительно текущих координат.