§ 7. Преобразование общего уравнения второй степени.
Рассмотрим теперь общее уравнение 
степени между переменными 
считая, что 
Покажем прежде всего, что при помощи поворота координатных осей его всегда можно привести к виду, не содержащему члена с произведением переменных.
Повернем координатные оси на некоторый угол а, который выберем впоследствии.
Как известно, формулы преобразования координат имеют вид:
Заменяя в данном уравнении х и у их выражениями по формулам преобразования, получим:
Раскрыв в этом уравнении скобки и сделав приведение подобных членов, будем иметь уравнение данной линии в новых координаыл. в таком виде:
где для краткости положено:
Выберем угол а так, чтобы коэффициент 
обратился в нуль, т. е. чтобы
Припомнив, что 
и
перепишем уравнение (17), определяющее угол поворота а, в таком виде:
Заметим, что 
так как в противном случае, как видно из уравнения (18), равнялось бы нулю и В, что противоречит условию. Поэтому уравнение (18) можно разделить на 
, после чего получим
откуда
Таким образом, всегда можно выбрать угол а так, что после поворота координатных осей на этот угол в уравнении линии 2-го порядка исчезнет член с произведением переменных. Угол а мы будем выбирать так, чтобы 
Получив 
по формуле (19), мы воспользуемся известной из тригонометрии формулой (в силу выбора а знаки 
одинаковы)
и далее по формулам
найдем 
а, а это позволит вычислить новые коэффициенты 
В результате преобразованное уравнение линии примет вид:
где все коэффициенты известны.
Дальнейшее упрощение полученного уравнения (20) производится методами, описанными в § 6.
Пример. Упростить уравнение
и установить вид кривой.
Повернем оси координат на угол а, найдя 
по формуле (19). В данном случае 
Следовательно, 
.
Отсюда а = 45°, Так как 
то формулы преобразования координат примуг вид
Подставляя эти выражения х и у в данное уравнение, получим
Произведя упрощения, будем иметь
Как и следовало ожидать, полученное уравнение не содержит члена с произведением переменных. Производя дальнейшее упрощение, как это показано в § 6, придем к уравнению
или
Таким образом, исходное уравнение представляет эллипс с полуосями 
(рис. 81). Чтобы найти координаты центра этого эллипса в системе координат 
подставим координаты 
и К точки О, в формулы преобразования. Получим
Рис. 81.
Таким образом, центр эллипса имеет координаты (0, 3).
