§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

В случае перпендикулярности двух плоскостей

угол между ними равен 90°, т. е. Поэтому из формулы (21) имеем условие перпендикулярности плоскостей (20):

Замечание. Это условие (23) получится сразу, если заметим, что скалярное произведение нормальных векторов должно быть равно нулю.

Условие параллельности плоскостей в векторной форме может быть записано так: где обозначают векторы, перпендикулярные к данным плоскостям. Переходя к проекциям, перепишем это условие таким образом:

что равносильно условию

Замечание. Условие (24) без векторов можно установить так в случае параллельности плоскостей (20) имеем:

Заменяя здесь косинусы их выражениями через коэффициенты уравнений (20), получим:

откуда находим:

Обратно, если выполнено условие (24), то плоскости параллельны. В самом деле, уравнения этих плоскостей будут:

где обозначает величину каждого отношения равенств (24). Деля первое уравнение на , получим:

Следовательно, выполняются соотношения (24), и плоскости параллельны.

Пример 1. Показать, что плоскости параллельны между собой.

Условие параллельности (24) здесь выполняется:

Пример 2. Показать, что плоскости

перпендикулярны между собой.

Условие перпендикулярности (23) здесь выполняется!

Задача I. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости.

Пусть даны точка и плоскость своим уравнением

Напишем уравнение произвольной плоскости, проходящей через данную точку

Чтобы эта плоскость была параллельна данной плоскости, нужно выполнить условие

следовательно, можем взять:

Подставляя эти значения А, В и С в уравнение плоскости, найдем:

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости

Здесь Следовательно, уравнение искомой плоскости будет:

Задача II. Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные точки перпендикулярно к данной плоскости.

Пусть даны две точки и плоскость своим уравнением

Напишем уравнение любой плоскости, проходящей через точку

Теперь напишем условия прохождения этой плоскости через точку и перпендикулярности с данной плоскостью:

Определяя из (25) отношения двух коэффициентов к третьему и подставляя их в уравнение плоскости, получим искомое уравнение.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 1, 1) и (0, 1, — 1) перпендикулярно к плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:

Условия прохождения этой плоскости через точку (0, 1, —1) и перпендикулярности к данной плоскости суть соответственно:

Из первого условия получаем — 2. Деля второе на С, найдем:

Деля уравнение плоскости на С и подставляя вместо найденные

значения, получим:

или

Замечание. Задача 11 может быть решена в общем виде, если воспользоваться определителями. Действительно, из уравнений (17) и (25), представляющих однородную систему с неизвестными А, В к С, получаем (ч. 1, гл. VI, § 6):