§ 3. Конические поверхности.
Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми — образующими конуса, — проходящими через данную точку — вершину конуса — и пересекающими данную линию — направляющую конуса. Пусть направляющая конуса имеет уравнения
а вершина конуса имеет координаты 
Канонические уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку 
) и через точку 
направляющей, будут;
Исключая х, у и z из четырех уравнений (3) и (4), получим искомое уравнение конической поверхности. Это уравнение обладает весьма простым свойством: оно однородно (т. е. все его члены одного измерения) относительно разностей 
. В самом деле, допустим сперва, что вершина конуса находится в начале координат 
. Пусть X, У и Z — координаты любой точки конуса; они удовлетворяют, следовательно, уравнению конуса. После замены в уравнении конуса X, У и Z соответственно через XX, ХУ, XZ, где X — произвольный множитель, уравнение должно удовлетворяться, так как XX, ХУ и XZ суть координаты точки прямой, проходящей через начало координат в точку 
, т. е. образующей конуса. Следовательно, уравнение конуса не изменится, если все текущие координаты умножим на одно и то 
число X. Отсюда следует, что это уравнение должно быть однородным относительно текущих координат.
В случае, если вершина конуса лежит в точке 
мы перенесем начало координат в вершину, и по доказанному преобразованное уравнение конуса будет однородно относительно ноных координат, т. е. относительно 
Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей
Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (0, 0, С) конуса и точку 
направляющей, будут:
Исключим х, у и 
из четырех данных уравнений. Заменяя 
через с, определим и у из последних двух уравнений:
Подставляя эти значения х и у в первое уравнение направляющей, будем иметь:
или
При 
направляющей конической поверхности будет окружность, и мы получим круговой конус.
