§ 16. Расстояние от дайной точки до данной прямой.

Условимся называть отклонением данной точки от данной прямой число d, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, взятой со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и со знаком минус, если они лежат по одну сторону от прямой. Для точек, лежащих на прямой, отклонение равно нулю.

Рис. 47.

Пусть даны прямая линия уравнением в нормальном виде

и точка Найдем отклонение d точки А от данной прямой.

Рассмотрим ломаную линию ORAKP (рис. 47) и возьмем ее проекцию на ось Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка (гл. I, § 8), то

С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 8), т. е.

Следовательно, равенство (28) перепишется в виде:

Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 8), то

Учитывая, кроме того, что

и подставляя найденные значения в равенство (28), будем иметь:

откуда

Следовательно, чтобы получить отклонение точки от данной, прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой подставить вместо текущих координат координаты данной точки

Очевидно, расстояние точки от прямой есть абсолютная величина отклонения и вычисляется по формуле

Пример. Найти расстояние от точки (-1, 1) до прямой

Приводим данноа уравнение к нормальному виду, умножая его на нор мирующий множитель нормальное уравнение прямой:

Отклонение равно:

Отрицательный знак для d указывает на то, что данная точка лежит от прямой с той же стороны, что и начало координат. Искомое расстояние