§ 2. Основные задачи.

Изложенный в § 1 метод координат приложим к решению многих задач. Рассмотрим сначала одну задачу вспомогательного характера, а затем (так же как и в первой части книги) разберем задачу о расстоянии между двумя точками и задачу о делении отрезка в данном отношении.

Задача I. Зная координаты точки относительно некоторой системы, найти координаты той же точки относительно новой системы, оси которой параллельны прежним осям.

Пусть координаты точки М относительно системы координат Oxyz суть х, у и z. Возьмем другую систему координат оси которой соответственно параллельны осям и направлены в те же стороны (рис, 86).

Рис. 86.

Координаты точки О, — нового начала в старой системе пусть будут а, b и с. Обозначим через X, Y и Z координаты точки М в новой системе. Спрашивается, как связаны между собой координаты точки М в старой и новой системах? Пусть А—проекция точки О, на ось и Q, — проекции точки М соответственно на оси . Тогда гл. I, § 1)

или

Совершенно так же, проектируя точки О, и на оси найдем:

Полученные формулы позволяют, зная X, Y и Z, найти х, у и z. Чтобы, обратно, зная х, у и z, найти новые координаты X, Y и Z, нужно разрешить уравнения (2), (1) и (3) относительно X, У и Z. Будем иметь:

    (4)

Задача II. Найти расстояние между двумя данными точками.

Если точка М имеет координаты х, у и z, то ее расстояние от начала координат представляет длину диагонали прямоугольного

параллелепипеда, три измерения которого суть Следовательно, обозначая через d искомое расстояние, имеем:

откуда

т. е. расстояние точки от начала координат равно квадратному корню из квадратов координат этой точки.

Пусть теперь даны точки чтобы найтн расстояние между ними, перенесем начало координат и точку , сохраняя направлении осей. Относительно новых осей координаты точки будут (0, 0, 0), а координаты точки формулами Следовательно. по формуле (5) получим:

т. е. расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Пример. Найтн рассюяние между точкой и точкой

Искомое расстояние по формуле (6) будет .

Задача Найти координаты точки М, делящей данный отрезок АВ в данном отношении.

Рис. 87

Пусть заданы две точки и дано отношение к, а котором некоторая точка М(х, у, z) делит направленный отрезок ЛИ:

Найдем координаты точки

Пусть суть проекции точек на ось Оу (см. рис. 87). Тогда так как отрезки двух прямых, заключенные между параллельными плоскостями, пропорциональны.

Легко заметить, что иеличииы направленных отрезков удовлетворяют аналогичному равенству

Так как

(ч. 1, гл. 1, § 3) и, по условию,

о равенство (8) примет вид:

откуда

Вынося в левой части у за скобку, получим:

и, наконец,

Чтобы найти координаты и z искомой точки М, проектируем точки на оси Ох и Oz и аналогично получаем:

Полагая в полученных формулах найдем координаты середины отрезка

т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам координат его начала и конца.

Пример. Найти координаты точки делящей отрезок АВ между точками отношении

Здесь

Следовательно,