Упражнения

Окружность

1. Написать уравнение окружности, зная, что:

а) центр окружности лежит в точке (-2,-3) и радиус ее равен 3 единицам длины;

б) центр лежит в точке (2, —3) и окружность проходит через точку (5, 1);

в) концы одного из диаметров имеют координаты (3, 9) и (7, 3).

2. Найти уравнение окружности, проходящей через точки .

3. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения

чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке ?

4. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением:

5. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат на расстояниях а единиц от начала координат.

6. Найти уравнение окружности, касающейся оси Оу в начале координат и пересекающей ось Ох в точке (6, 0).

7. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в начале координат и пересекающей ось Оу в точке (0, — 8).

8. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке и имеющей радиус, равный 3 единицам длины.

9. Найти уравнение окружности, центр которой лежит в точке (4, 7) и которая касается прямой

10. Вывести уравнение касательной к окружности в точке

11. Составить уравнение касательной к окружности в точке

12. Написать уравнение касательной к окружности в точке (3, 6).

13. Найти уравнения касательных к окружности проходящих через точку

14. Найти уравнения касательных к окружности проходящих через точку .

15. а) Найти касательные к окружности параллельные прямой Найти касательные к окружности перпендикулярные к прямой

16. Найти длину касательной, проведенной точки к окружности

17. а) Даны точки Найти геометрическое место точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами, б) Все хорды ON окружности проведенные из начала координат, продолжены за точку N на расстояние Найти геометрическое место точек М..

Эллипс

18. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:

а) полуоси его равны соответственно 5 и 4;

б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10;

в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6;

г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,6;

д) малая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,8;

е) эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8;

ж) сумма полуосей равна 10 и расстояние между фокусами равно 45.

19. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением:

20. Определить эксцентриситет эллипса, если:

а) отрезок, соединяющий его фокусы, виден из конца малой оси под прямым углом;

б) расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой и малой осей;

в) его большая ось втрое больше малой;

г) ею оси относятся, как

21. Дан эксцентриситет эллипса . Найти отношение его полуосей.

Как величина эксцентриситета характеризует форму эллипса?

22. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр его находится в точке (5, 0). Составить уравнение эллипса, зная, что эксцентриситет его равен .

23. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8, 0) и оси ординат в точке (0, — 5). Написать уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат.

24. Эллипс касается оси ординат в точке (0, 5) и пересекает ось абсцисс в точках (5, 0) и (11, 0). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат.

25. Сколько касательных к эллипсу можно провести из точки О, 1). сколько из точки (3, 1) и сколько из точки ?

26. Написать уравнение касательной к эллипсу в точке

27. Известно, что прямая касается эллипса Найти точку касания.

28. Найти уравнения касательных, проведенных из точки (4, — 1) к эллипсу

29. Найти касательные к эллипсу проходящие через точку

30. Найти касательные к эллипсу параллельные прямой

31. Найти касательные к эллипсу перпендикулярные к прямой

32. Написать уравнения директрис эллипса

33. Написать уравнение эллипса, малая полуось которого равна и директрисами которого служат прямые ±10.

34. Найти уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равняется 2 и расстояние между директрисами 10.

35. Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между его директрисами в три раза больше расстояния между фокусами.

36. Расстояние между директрисами эллипса равняется 36. Найти уравнение этого эллипса, зная, что фокальные радиусы некоторой его точки равны 9 и 15.

37. Расстояние между фокусами эллипса равно 8, расстояние между его директрисами равно 12,5. Найти простейшее уравнение этого эллипса.

38. Дан эллипс Через точку (1, 1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

39. Дан эллипс Через точку провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

40. Найти длину диаметра эллипса направленного по биссектрисе второго координатного угла.

41. Доказать, что касательные к эллипсу проведенные в концах одною и того же диаметра, параллельны.

42. Найти уравнения диаметров эллипса длины которых равны 2/5.

43. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса из которых один наклонен к большой оси иод углом в 30°.

44. Найти для эллипса направления и длины двух сопряженных диаметров, из которых один проходит через точку (4, 2).

45. Определить длины сопряженных диаметров эллипса которые образуют между собой угол в 60°.

46. Найти уравнения равных сопряженных диаметров эллипса —

47. Написать уравнения двух равных сопряженных диаметров эллипса

48. Найти угол между двумя равными сопряженными диаметрами эллипса

49. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам прямого угла. Определить кривую, описываемую любой точкой М, лежащей на этом отрезке.

50. Найти простейшее полярное уравнение эллипса

Гипербола

51. Составить простейшее уравнение гиперболы, зная, что:

а) полуоси ее равны соответственно 5 и 4 единицам длины;

б) расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами 12;

в) действительная полуось равна 5 и эксцентриситет равен 1,4;

г) расстояние между фокусами равно 16 и эксцентриситет равен

д) действительная полуось равна и гипербола проходит через точку

е) гипербола проходит через точки

52. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением:

53. а) Найти зависимость между эксцентриситетом гиперболы и углом между ее асимптотами; б) выразить отношение полуосей гиперболы через эксцентриситет. Как влияет величина эксцентриситета на форму гиперболы?

54. Дана гипербола уравнение диаметра, длина которого равна

55. На гиперболе взята точка, абсцисса которой равна ордината положительна. Вычислить фокальные радиусы этой точки,

56. Дан эллипс . Найтн уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

57. Найти касательные к гиперболе в точках пересечения ее с прямой

Найти касательные к гиперболе проходящие через точку

59. Найти касательные к гиперболе параллельные прямой

60. Доказать, что для гиперболы произведение расстояний от фокусов до касательной равно

61. Доказать, что асимптоты равнобочной гиперболы делят пополам углы между ее сопряженными диаметрами.

62. 1) Найти отклонение фокуса гиперболы от асимптоты.

2) Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до асимптот есть величина постоянная,

63. Даны фокальный параметр и эксцентриситет гиперболы. Найти полуоси.

64. Гипербола касается прямой в точке (5, 2). Составить уравнение этой гиперболы.

65. Найти касательные к гиперболе , перпендикулярные к прямой

66. Найти уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее директрисами равно 6, а расстояние между фокусами 10.

67. Найти эксцентриситет гиперболы, если известно, что расстояние между ее директрисами в три раза меньше расстояния между фокусами.

68. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равен ,

69. Найти уравнения диаметров гиперболы — длина которых равна 2 1/5.

70. Дана гипербола Написать уравнения асимптот.

71. Найти уравнение гиперболы, если известно, что:

а) и директрисы даны уравнениями

б) асимптоты даны уравнениями и расстояние между фокусами равно 10;

в) асимптоты даны уравнениями и гипербола проходит через точку .

72. Даны точки Точка М движется так, что в треугольнике АМВ угол В остается вдвое больше угла А. Определить траекторию движения.

73. Две прямые вращаются около двух неподвижных точек в противоположных направлениях и с одинаковой угловой скоростью. При начале движения одна из этих прямых совпадает с прямой, соединяющей данные точки, а другая перпендикулярна к этой прямой. Найти геометрическое место точек пересечения этих прямых.

74. Составить уравнение касательной к гиперболе в точке

Парабола

75. Составить уравнение параболы, зная, что:

а) осью симметрии параболы служит ось Ох, вершина лежит в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины;

б) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку (2, — 4) и вершина ее лежит в начале координат;

в) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку и вершина ее лежит в начале координат;

г) парабола симметрична относительно оси Оу, фокус лежит в точке (0, 3) и вершина совпадает с началом координат;

д) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку (4, 2) и вершина ее лежит в начале координат;

е) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку и вершина совпадает с началом координат;

ж) фокус имеет координаты (3,0), директриса служит осью ординат и ось симметрии — осью абсцисс;

з) фокус имеет координаты (0, 3), директриса служит осью абсцисс и ось симметрии — осью ординат.

76. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке , параметр равен и направление оси симметрии совпадает;

а) с положительным направлением оси

б) с отрицательным направлением оси

в) с положительным направлением оси

г) с отрицательным направлением оси

77. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в начале координат-, направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси Ох, а параметр равен расстоянию от фокусов гиперболы до асимптот.

78. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси Оу, а параметр равен расстоянию между директрисами эллипса

79. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы и перпендикулярной к ее оси симметрии.

80. Дана парабола Через точку (4, 1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам.

81. Дана парабола Через точку провести такую хорду, которая в этой точке делилась бы пополам.

82. Найти уравнения диаметров параболы сопряженных с хордами, наклоненными к под углом в 45°.

83. Дана парабола Найти к этой параболе касательные в точках, в которых она пересекается с прямой

84. Найти такую точку на параболе чтобы касательная в ней образовывала с осью симметрии параболы угол в 30°.

85. Найти касательные к параболе проходящие через точку (3, —4).

86. Найти уравнение касательной к параболе которая была бы: а) параллельна прямой перпендикулярна к прямой

87. Найти геометрическое место центров кругов, проходящих через данную точку и касающихся данной прямой.