ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Прямоугольные координаты.

Укажем теперь способ, позволяющий определять положение любой точки пространства числами.

Через некоторую точку О пространства проведем три взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу, Oz — оси координат, относительно которых мы будем определять положение точек пространства. Оси координат обычно располагают так, как это указано на рис. 82; оси Ох и Оу — горизонтально, а ось Oz — вертикально; при этом ось Ох направляют вперед (в сторону читателя), ось — слева направо, ось Oz — снизу вверх. Ось Ох называется осью абсцисс, Оу — осью ординат, Oz — осью аппликат. Точка пересечения координатных осей называется началом координат. Наконец, выберем единицу масштаба.

Рис. 82

Теперь положение всякой точки пространства можно определить тремя действительными числами — координатами этой точки.

В самом деле, всякой точке соответствует три точки Р, Q, R на осях координат, являющиеся ее проекциями на эти оси. Обратно, зная точки Р, Q и R на осях, можно построить единственную точку М в пространстве, для которой Р, Q и R являются проекциями на координатные оси. Таким образом, определение положения точки М сводится к определению положений ее проекций и R, лежащих соответственно на осях Ох, Оу и Oz. Мы уже знаем, что положение точки Р оси Ох вполне определяется числом х, представляющим собой величину направленного отрезка ОР. Это число х, координата точки Р—проекции точки М на ось Ох, — принимается

за первую координату точки М и называется ее абсциссой. Совершенно так же положение точек Q и R вполне определяется числами у и z, представляющими собой величины направленных отрезкой OQ и OR. Числа у и z, координаты точек Q и R, — проекций точки М на оси принимаются соответственно за вторую и третью координаты точки Вторая координата у называется ординатой и третья z — аппликатой.

Рис. 83.

Таким образом, положение любой точки пространства вполне определяется тройкой чисел z, первое из которых является абсциссой точки, второе — ординатой и третье — аппликатой.

Координаты точки условимся записывать в скобках рядом с буквой, обозначающей ее, ставя на первом месте абсциссу, на втором — ординату и на третьем — аппликату .

Оси координат взятые попарно, определяют три взаимно перпендикулярные плоскости называемые плоскостями координат. Эти три плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых октантами, причем точкам каждого октанта соответствует определенная комбинация знаков координат (рис. 83):

Если точка М лежит в плоскости координат то аналогично для точек плоскости координата для точек плоскости координата Если точка М лежит на оси Ох, то аналогично для точек оси Оу коордииаты z и равны нулю, для точек оси Oz координаты х и у равны нулю. Наконец, в начале координат

Координаты, которые принимаются в описанном способе для определения положения точки, называются прямоугольными., так как точка М определяется пересечением трех плоскостей, пересекающихся

под прямыми углами (см. задачу II), и по имени Декарта — также декартовыми. Из описанного метода координат вытекает решение двух основных задач.

Задача I. По данной точке М определить ее координаты.

Через данную точку М проводим три плоскости параллельно плоскостям координат; три точки Р, Q и R, получающиеся в пересечении этих плоскостей с осями координат Ох, Оу и Oz и являющиеся проекциями точки М на эти оси, определяют три координаты:

Проведенные через точку М три плоскости вместе с тремя координатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед, ребра которого OP, OQ и OR называются координатными отрезками точки .

Задача II. Зная координаты х, у и z точки М, построить эту точку.

По трем данным числам х, у и z строим три точки Р, Q и R на осях координат, откладывая соответственно по осям отрезки OP, OQ и OR, величины которых равны соответственно х, у и z. Проводя через точки Р, Q и R три плоскости, параллельные плоскостям координат, в пересечении их получим единственную точку М, для которой z будут координатами.

Замечание 1. Если мы условимся рассматривать направленные отрезки PS и (рис. 82) как отрезки осей, направления которых совпадают с направлениями параллельных им координатных осей, то ордината точки будет выражаться не только величиной отрезка OQ, но и равной ей величиной отрезка

Аналогично аппликата точки выразится как величиной отрезка OR, так и величиной отрезка

Тогда при решении этих основных задач не является необходимым проводить плоскости, параллельные плоскостям координат. Так, в задаче I опускаем из данной точки М перпендикуляр на плоскость координат Его основание 5 (рис. 82) определит проекцию точки М на плоскость Из точки 5 опускаем перпепдикуляр на ось его основание Р определит проекцию точки М на ось

Следовательно, три звена направленной ломаной линии OPSM определяют три координаты точки М:

Так же при решеиии задачи II откладываем по оси Ох от точки О отрезок длиною единиц (вперед или назад — смотря по знаку ); через конец Р этого отрезка проводим в плоскости хОу прямую параллельно оси Оу и откладываем на ней от точки Р отрезок длиною

(вправо или влево — смотря по знаку получим точку S, через которую проводим прямую параллельно оси Oz и откладываем на ней от точки S отрезок длиною (вверх или вниз — смотря по знаку z). Конец этого отрезка и является искомой точкой М.

Направленные отрезки PS и SM (так же как и отрезки ОР, и OR) мы будем называть координатными отрезками точки

Направленную ломаную линию OPSM, началом которой является начало координат, а концом — точка М, и три звена которой являются координатными отрезками точки М, будем называть координатной ломаной линией точки М.

Рис. 84.

Из всего изложенного следует, что каждой точке пространства в выбранной системе координат соответствует тройка чисел — координат точки — и, обратно, всякая тройка действительных чисел х, у, z определяет в пространстве единственную точку, для которой указанные три числа являются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. Поэтому задать точку — это значит задать ее координаты; найти точку — значит найти ее координаты.

Рис. 85.

Замечание 2. Возможны два тина взаимного расположения осей прямоугольной декартовой системы координат в пространстве. Если ми будем смотреть из какой-либо точки положительной полуоси Oz на положительную полуось Оу, то ось Ох может быть направлена вправо или влево. В первом случае система координат называется правой системой (рис. 84), а во втором — левой (рис. 85). Для правой системы поворот от оси Ох к оси Оу на прямой угол будет нам казаться происходящим против часовой стрелки (если смотреть на плоскость хОу из какой-либо точки положительной полуоси Oz), а для левой — по часовой. Можно пользоваться как правой, так и левой системами. В дальнейшем мы будем применять только правую систему координат.