§ 5. Проекции вектора.

Проекцией вектора АВ на ось называется длина отрезка этой оси, заключенного между проекциями а и b его начальной точки А и конечной точки В, взятая со знаком если направление отрезка совпадает с направлением оси проекций, а со знаком если эти направления противоположны. Таким образом, проекцией вектора АВ на ось является величина направленного отрезка оси.

Основные положения теории проекций (ч. 2, гл. I, § 3) можно высказать следующим образом:

1. Проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором, т. е.

Отсюда, в частности, следует, что равные векторы имеют равные проекции на ту же ось.

2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось, т. е., например:

где все проекции отнесены к одной и той же оси.

Рис. 99.

Действительно, сумма векторов есть замыкающий вектор ломаной, у которой составляющими звеньями служат слагаемые векторы (см. § 2).

Рассмотрим прямоугольную систему координат и произвольный вектор ОМ (рис. 99). Из точки М — конца вектора ОМ — проведем прямую параллельно оси Oz до пересечения в точке Р с плоскостью хОу и из точки Р в плоскости хОу проведем прямую параллельно оси Оу до пересечения в точке с осью Ох. Очевидно, будем иметь:

Откладывая векторы и РМ от точки О, заменим их равными им векторами

и, значит, будем иметь:

или иначе:

Равенство (I) показывает, что всякий вектор можно разложить на три слагаемых, лежащих на осях координат. Слагаемые векторы , назовем компонентами или составляющими данного вектора М относительно системы координат .

От точки О в положительном направлении каждой оси координат отложим но вектору длины, равной 1. Обозначим три введенных попарно взаимно перпендикулярных единичных вектора соответственно через i, j, к и назовем их основными векторами. Возвращаясь к равенству (I), заметим, что вектор как и вектор i, расположен на оси абсцисс, а потому имеем:

где X есть длина вектора взятая со знаком если направления векторов М, и i совпадают, и взятая со знаком если направление

вектора М, противоположно направлению основного вектора i. Другими словами, X есть число, являющееся проекцией вектора М на ось абсцисс. Аналогично получим:

где Y и Z — проекции вектора М соответственно на оси ординат и аппликат. Таким образом, рассматривая три проекции X, Y, Z вектора М на оси координат, перепишем равенство (I) в виде

Это равенство дает разложение вектора по основным векторам

Есть существенная разница между компонентами вектора и его проекциями. Проекции вектора — это три числа X, У, Z, которые являются декартовыми координатами конца вектора—точки М, если начало вектора находится в начале координат. Называя радиусом-вектором точки М вектор, идущий от начала координат в точку мы можем сказать, что декартовы координаты X, Y, Z точки суть проекции ее радиуса-вектора ОМ. Компоненты же вектора представляют собой векторы сумма которых равна данному вектору М. Между компонентами и проекциями существует следующая простая зависимость:

т. е. компонента получается умножением основного единичного вектора на проекцию.

Значение равенства () в теории векторов исключительно велико. При помощи этого равенства устанавливается связь между двумя частями теории векторов — геометрической и алгебраической, Ведь зекторпая алгебра состоит из соединения этих двух моментов: геометрического и алгебраического. Взаимно дополняя друг друга, они и создают то, чем так выгодно отличается векторная алгебра: геометрическая теория дает возможность широко использовать геометрические представления, алгебраическая же часть позволяет проводить нее выкладки.

Вместо полной записи

часто пользуются сокращенной:

Здесь X, Y, Z обозначают, как выше было указано, проекции вектора М, или, что то же, координаты точки являющейся концом радиуса-вектора М. Например: