§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

В случае параллельности прямой линии

и плоскости

угол между ними равен нулю, следовательно, и формула (12) дает искомое условие

Замечание. Это условие получится сразу, если заметим, что векторы перпендикулярны, и, значит, их скалярное произведение равно нулю.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности этой прямой и перпендикуляра к плоскости, т. е. будет:

Задача. Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через точку параллельно плоскости

Уравнение любой прямой, проходящей через точку , будет:

где — радиус-вектор данной точки, a s есть тот вектор, которому прямая параллельна. Так как искомая прямая должна быть перпендикулярна к вектору то должно иметь место

Умножая уравнение прямой на вектор , получим:

так как Уравнение определяет плоскость, проходящую через точку с радиусом-вектором , перпендикулярно к вектору п. Переводя его в координатную форму, будем иметь:

Замечание. Эту же задачу можно решить, не прибегая к векторному методу. Уравнения любой прямой, проходящей через точку , суть:

Условие параллельности искомых прямых и данной плоскости выразится равенством

Заменяя в последнем условии величинами , им пропорциональными, получаем: