§ 9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Сохраняя обозначения предыдущего параграфа, в силу определения гиперболы (гл. IV, § 4) имеем:
где знак плюс относится к правой ветви гиперболы, а знак минус к левой. С другой стороны, как и в предыдущем параграфе, найдем:
(8)
Из уравнений (10) и (8) находим искомые величины 
Для этого, переписав уравнение (8) в виде
воспользуемся уравнением (10), что нам даст:
Наконец, решая последнее уравнение совместно с уравнением (10), получим выражения для 
Величина входящая в последние формулы, называется эксцентриситетом гиперболы; условимся обозначать ее через е. Очевидно, 
есть отношение фокусного расстояния 
к длине действительной оси 2а, причем теперь 
так как 
Итак, мы имеем следующие формулы для фокальных радиусов 
гиперболы:
Назовем прямые 
перпендикулярные к фокальной оси гиперболы и расположенные на расстоянии от ее центра, директрисами гиперболы, соответствующими правому и левому фокусам. Так как для гиперболы 
следовательно, директрисы располагаются между вершинами.
Легко показать, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е. Вследствие симметрии это свойство достаточно обнаружить относительно правого фокуса и соответствующей ему директрисы.
Обозначая через 
расстояние точки 
гиперболы до правой директрисы, из рис. 58 усматриваем, что 
в случае, если 
находится на правой ветви гиперболы, и 
если М лежит на левой ветви. Составим теперь отношение 
пользуясь формулами (11):
Рис. 58.
В обоих случаях отношение 
будет одинаково и равно:
что и требовалось показать.
