§ 6. Однородная система.

Перейдем теперь к исследованию системы однородных уравнений:

причем для сокращения письма мы через , обозначаем левые части уравнений. Исследование разобьем на три случая.

I. Если определитель А системы (23) отличен нуля, то эта система будет иметь одно определенное решение согласно § 5. В нашем случае это будет очевидное решение которое называют нулевым решением.

И. Предположим, что определитель А системы (23) равен нулю, но но крайней мере одни из его миноров отличен от пуля. Устанавливая надлежащим образом порядок уравнений и неизвестных в системе (23), можно всегда лоетшнуть того, чтобы минор, отличный от пуля, стоял в левом верхнем углу определителя А. Итак, не уменьшая общности, мы можем считать

Рассмотрим определитель

Заменяя их выражениями, мы можем вследствие свойств V и VII (§ 4) представить определитель D в виде суммы трех определителей:

Определители, стоящие при равны нулю, так как имеют по два одинаковых столбца, а определитель, стоящий при , есть определитель А, равный нулю но условию, т. е. имеет место тождество относительно

Разлагая последний определитель по элементам последнего столбца, видим, что это тождество выражает линейную зависимость между причем коэффициент при очевидно, равен 6 и заведомо отличен от нуля:

где суть алгебраические дополнения элементов

Это тождество показывает, что третье из уравнений (23) есть следствие первых двух. В самом деле, если при некоторых значениях z мы будем иметь то из тождества (24) и условия вытекает, что и для этих значений

Таким образом, в рассматриваемом случае остается решить совместно первые два уравнения системы (23). Согласно формулам (9) решение будет:

т. е.

где k есть произвольный множитель. Если то и получаемое решение отлично от нулевого.

III. Предположим, наконец, что определитель и все его миноры равны нулю. Не уменьшая общности, можем считать, что коэффициент а, отличен от нуля. Рассмотрим два определителя 2-го порядка:

Каждый из этих определителей можно представить в виде суммы трех определителей (§ 4):

Непосредственно видно, что определители, стоящие при х, равны нулю. Кроме того, равны нулю также и определители, стоящие при у и z, так как но условию все миноры определителя Д равны нулю. Следовательно,

Итак, в рассматриваемом случае будут иметь место два тождества относительно х, у, z:

или

Эти тождества показывают, что последние два из уравнений (23) суть следствия первого. В самом деле, из тождеств (25) и условия вытекает, что если , то и Итак, в рассматриваемом случае достаточно решить одно первое уравнение, и мы получим решение системы (23) в виде:

а значения остаются произвольными.

Резюмируя исследования этого параграфа, приходим к следующему предложению.

Для того чтобы однородная система (23) имела решения, отличные от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю. Если этот определитель равен нулю, но по крайней мере один из его миноров отличен от нуля, то одно из уравнений системы есть следствие двух других. Если же не только определитель системы (23), но и все его миноры равны нулю, то система приводится к одному уравнению. Пример 1. Решить систему

Определитель системы

отличен от нуля. Следовательно, данная система имеет единственное нулевое решение.

Пример 2. Решить систему

Определитель системы

Минор определителя Д, например

отличен от нуля. Следовательно, третье уравнение данной системы есть следствие двух первых, и достаточно решить совместно два первых уравнения. Решая их, найдем (§ 2):

где k произвольно.

Пример 3. Решить систему

Определитель системы

Все миноры определителя тоже равны нулю. Следовательно, система приводится к одному уравнению, что непосредственно становится ясным, если сократить второе уравнение на 2 и третье на 3. Чтобы найти решения системы, достаточно разрешить лишь первое уравнение, и получаем:

где остаются произвольными.