Главная > Аналитическая геометрия
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Однородная система.

Перейдем теперь к исследованию системы однородных уравнений:

причем для сокращения письма мы через , обозначаем левые части уравнений. Исследование разобьем на три случая.

I. Если определитель А системы (23) отличен нуля, то эта система будет иметь одно определенное решение согласно § 5. В нашем случае это будет очевидное решение которое называют нулевым решением.

И. Предположим, что определитель А системы (23) равен нулю, но но крайней мере одни из его миноров отличен от пуля. Устанавливая надлежащим образом порядок уравнений и неизвестных в системе (23), можно всегда лоетшнуть того, чтобы минор, отличный от пуля, стоял в левом верхнем углу определителя А. Итак, не уменьшая общности, мы можем считать

Рассмотрим определитель

Заменяя их выражениями, мы можем вследствие свойств V и VII (§ 4) представить определитель D в виде суммы трех определителей:

Определители, стоящие при равны нулю, так как имеют по два одинаковых столбца, а определитель, стоящий при , есть определитель А, равный нулю но условию, т. е. имеет место тождество относительно

Разлагая последний определитель по элементам последнего столбца, видим, что это тождество выражает линейную зависимость между причем коэффициент при очевидно, равен 6 и заведомо отличен от нуля:

где суть алгебраические дополнения элементов

Это тождество показывает, что третье из уравнений (23) есть следствие первых двух. В самом деле, если при некоторых значениях z мы будем иметь то из тождества (24) и условия вытекает, что и для этих значений

Таким образом, в рассматриваемом случае остается решить совместно первые два уравнения системы (23). Согласно формулам (9) решение будет:

т. е.

где k есть произвольный множитель. Если то и получаемое решение отлично от нулевого.

III. Предположим, наконец, что определитель и все его миноры равны нулю. Не уменьшая общности, можем считать, что коэффициент а, отличен от нуля. Рассмотрим два определителя 2-го порядка:

Каждый из этих определителей можно представить в виде суммы трех определителей (§ 4):

Непосредственно видно, что определители, стоящие при х, равны нулю. Кроме того, равны нулю также и определители, стоящие при у и z, так как но условию все миноры определителя Д равны нулю. Следовательно,

Итак, в рассматриваемом случае будут иметь место два тождества относительно х, у, z:

или

Эти тождества показывают, что последние два из уравнений (23) суть следствия первого. В самом деле, из тождеств (25) и условия вытекает, что если , то и Итак, в рассматриваемом случае достаточно решить одно первое уравнение, и мы получим решение системы (23) в виде:

а значения остаются произвольными.

Резюмируя исследования этого параграфа, приходим к следующему предложению.

Для того чтобы однородная система (23) имела решения, отличные от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю. Если этот определитель равен нулю, но по крайней мере один из его миноров отличен от нуля, то одно из уравнений системы есть следствие двух других. Если же не только определитель системы (23), но и все его миноры равны нулю, то система приводится к одному уравнению. Пример 1. Решить систему

Определитель системы

отличен от нуля. Следовательно, данная система имеет единственное нулевое решение.

Пример 2. Решить систему

Определитель системы

Минор определителя Д, например

отличен от нуля. Следовательно, третье уравнение данной системы есть следствие двух первых, и достаточно решить совместно два первых уравнения. Решая их, найдем (§ 2):

где k произвольно.

Пример 3. Решить систему

Определитель системы

Все миноры определителя тоже равны нулю. Следовательно, система приводится к одному уравнению, что непосредственно становится ясным, если сократить второе уравнение на 2 и третье на 3. Чтобы найти решения системы, достаточно разрешить лишь первое уравнение, и получаем:

где остаются произвольными.

1
Оглавление
email@scask.ru