§ 6. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством циркуля и линейки.

Из уравнения эллипса (§ 3) определяем а и b, изображая их отрезками на осях координат (рис. 53). Из точки как из центра, радиусом, равным а, описываем окружность, которая в пересечении с осью Ох даст фокусы эллипса F, и так как при таком построении соблюдается зависимость Найдя фокусы эллипса, делим отрезок 2а на две части: и радиусами, равными описываем две окружности, принимая за их центры соответственно фокусы F, и

Точки пересечения этих окружностей лежат на эллипсе, так как сумма расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна 2а. Меняя будем получать новые точки эллипса.

Рис. 54.

Аналогично проводится построение точек гиперболы. Определяя из уравнения гиперболы (§ 4) а и b, изображаем их отрезками на осях координат (рис. 54). Из точки О, как из центра, радиусом, равным описываем окружность, которая в пересечении с осью Ох даст фокусы гиперболы и (так как при этом построении соблюдается равенство ).

Найдя фокусы гиперболы, описываем из них, как из центров, две окружности радиусов Точки пересечения

окружностей лежат на правой ветви гиперболы, так как разность расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна . Меняя будем получать новые точки правой ветви гиперболы. Изменяя роль фокусов, получим точки левой ветви гиперболы.

Рис. 55.

Перейдем, наконец, к построению точек параболы. Прежде всего строим фокус и директрису параболы, откладывая на оси Ох вправо от О отрезок OF, равный такой же отрезок ОК влево от О и проводя через точку К прямую, перпендикулярную к оси параболы (рис. 55). Параметр определяется из уравнения параболы. Проводим прямую линию, перпендикулярную к оси параболы, на произвольном расстоянии от директрисы и из фокуса F, как из центра, описываем окружность радиуса d. Точки пересечения и проведенной прямой линии с окружностью принадлежат параболе, так как для каждой из этих точек расстояния до фокуса и директрисы равны между собой.