§ 12. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны точки Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Уравнение пучка прямых линий, проходящих через точку имеет вид:

где к есть произвольный параметр. Чтобы выделить из этого пучка прямую линию, проходящую через точку потребуем, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению (18):

    (19)

Из равенства (19) нужно определить значение параметра k и внести это значение в уравнение (18). Иначе говоря, нужно исключить k из уравнения (18) и равенства (19), что мы сделаем, деля (18) на (19).

Таким образом получим уравнение прямой, проходящей через точки

Если данные точки А и В лежат на прямой, параллельной оси или оси то уравнение прямой будет соответственно иметь вид или

Замечание. Из соотношения (19) мы находим формулу

выражающую угловой коэффициент прямой линии через координаты двух ее точек.

Пример 1. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки

Подставляя в уравнение получим или окончательно

Пример 2. Составить уравнение прямой линии, проходящей через пересечения прямых и через точку (2, 1).

Первый способ. Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складь находим:

Вычитая первого уравнения второе, получаем:

Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум и (2, 1). Искомое уравнение будет

откуда

Второй способ. Составим уравнение пучка прямых линий с цен в точке пересечения двух данных прямых:

Чтобы выделить из этого пучка прямую линию, проходящую через точку потребуем, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению (17):

отсюда найцем параметр :

Подставляя в уравнение найдем:

или

откуда