§ 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

Рассмотрим прямую линию, не параллельную оси ординат. Положение ее на плоскости будет вполне определено, если задать угол наклона прямой к оси абсцисс и величину отрезка, отсекаемого ею на оси ординат, т. е. величину направленного отрезка оси ординат, началом которого является начало координат, а концом — точка пересечения прямой с осью

Рис. 41.

Обозначим угол наклона прямой к оси Ох через а величину отрезка ОВ, отсекаемого прямой на оси Оу, через b.

Пусть — произвольная точка прямой (рис. 41). Когда точка М движется по прямой, то ее коордииаты изменяясь, остаются все время связанными между собой некоторым условием. Посмотрим, каково это условие.

Рассмотрим направленный отрезок ВМ. Зная координаты его начала и конца

выразим проекции его на оси координат (гл. I, § 9)

Тогда по формуле (16) гл. I, § 9 получим:

Отсюда

и окончательно

где

Этому уравнению удовлетворяют лишь координаты точки рассматриваемой прямой; оно нарушается, если точка не лежит на прямой. Таким образом, полученное уравнение (1) является уравнением заданной прямой линии.

Уравнение прямой вида (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение (1) мы получили, считая, что прямая не параллельна оси Оу. Посмотрим теперь, какое уравнение будет иметь прямая, параллельная оси Оу.

Пусть а — абсцисса точки пересечения этой прямой с осью Ох (рис. 42). Очевидно, любая точка прямой имеет абсциссу, равную а; если же точка не лежит на прямой, то абсцисса ее будет отлична от а. Следовательно, эта прямая имеет уравнение

Рис. 42.

Итак, если прямая не параллельна оси Оу, то ее уравнение может быть записано в форме (1), если же прямая параллельна оси Оу, то ее уравнение может быть записано в форме (2). Так как уравнения (1) и (2) являются уравнениями первой степени относительно переменных х и у, то тем самым мы доказали, что в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени.

В частности, если прямая проходит через начало координат, то и уравнение такой прямой будет иметь вид:

Если прямая параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее , и уравнение прямой будет

Пример. Составить уравнение прямой линии, отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого равна — 2, и наклоненной к оси абсцисс под углом в 45°.

Здесь Следовательно, искомое уравнение