§ 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

К понятию определителя 3-го порядка мы пришли, поставив задачу о решении системы трех уравнений с тремя пеизвестиыми. Возвращаясь к этой задаче, рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

и предположим, что определитель этой системы

отличен от нуля. Умножим урайнения (20) почленно на и сложим. В силу формул (18) коэффициент будет равен Д, а в силу формул (19) коэффициенты при у и z будут равны нулю. Поступая аналогично, исключим , а также х и у. Таким образом, из системы (20) вытекает следующая система:

Легко показать и обратное, что система (20) есть следствие системы (21). В самом деле, умножая уравнения (21) почленно на и складывая, получим вследствие формул (18) и (19):

Сокращая на множитель , отличный от нуля, получим первое из уравнений (20). Аналогично можно получить и остальные два уравнения.

Итак, мы показали, что системы (20) и (21) равносильны, если определитель отличен от нуля. Из уравнении системы (21) находим:

Сумма получается из суммы равной определителю , заменой на т. е. эта сумма равна определителю, который получится из , если в нем элементы первого столбца заменить на . Аналогичное заключение имеет место относительно числителей в выражениях . Таким образом, формулы (22) в более подробном виде запишутся гак:

и мы приходим к следующему предложению: если определитель системы (20) отличен от нуля, то эта система имеет одно определенное решение, получаемое по формулам (22). В знаменателе дробей, выражающих , находится определитель данной системы, а в числителях — определители 3-го порядка, которые получаются из Д заменой коэффициентов при соответствующем неизвестном свободными членами (стоящими в правых частях).

Пример. Решить систему

Определитель системы

отличен от нуля; следовательно, система имеет единственное решение. Согласно формулам (22) будем иметь: