§ 2. Цилиндрические поверхности (общий случай).

Мы рассмотрели (гл. III, § 5) уравнение цилиндрической поверхности в том частном случае, когда образующие параллельны одной из осей координат. Рассмотрим теперь общий случай.

Как уже было отмечено (гл. III, § 5), цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, — образующими, — параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию L — направляющую. Пусть направляющая цилиндрической поверхности определяется уравнениями

Положим, что суть направляющие коэффициенты образующих цилиндрической поверхности. Канонические уравнения образующих будут:

где есть точка, принадлежащая направляющей, а X, Y, Z — текущие координаты. Исключая х, у и z из четырех уравнений (1) и (2), получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Пример. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны прямой

а направляющей служит прямая

Кановическне уравнения образующих будут:

Исключим из последних четырех уравнений. Обозначая через о величину каждого из последних отношений, найдем:

Подставляя эти значения х, у и в данные уравнения направляющей, получим:

Исключая, наконец, найдем:

Это, очевидно, есть уравнение плоскости, проходящей через данную направляющую и параллельной прямой