§ 8. Классификация линий.

Так как в аналитической геометрии линии определяются уравнениями, то в осноау их классификации естественно положить свойства уравнений этих линий. В основу классификации линий мы положим свойства их уравнений в декартовых координатах. Перенося все члены уравнения в левую часть, мы придадим ему вид:

где F есть символ функции от двух переменных х, у. Если уравнение (20) [т. е. функция ] - трансцендентное, то и линия, им определяемая, называется трансцендентной, если же уравнение (20) — алгебраическое, то и линия, им определяемая, называется алгебраической. Например, линия, которой соответствует уравнение

трансцендентная; уравнение же

определяет алгебраическую линию. Так как одна и та же линия может быть представлена бесчисленным множеством различных уравнений, смотря по тому, к какой системе координат мы относим ее уравнение, то, чтобы оправдать возможность указанной классификации линий на алгебраические и трансцендентные, необходимо показать, что алгебраический или трансцендентный характер линии не зависит от положения осей координат. Но действительно, так как формулы преобразования координат суть алгебраические, то всякое алгебраическое уравнение при любом преобразовании координат переходит в алгебраическое; отсюда уже следует, что трансцендентное уравнение при любом преобразовании координат переходит в трансцендентное же, так как если бы трансцендентное уравнение перешло в алгебраическое, то путем обратного преобразования алгебраическое уравнение переходило бы в трансцендентное, что невозможно

Итак, алгебраический или трансцендентный характер линии (уравнения) не зависит от выбора осей координат, а зависит лишь от свойств самой линии.

Далее, всякое алгебраическое уравнение можно освободить от радикалов и дробей, если таковые в нем имеются. Таким образом, уравнение алгебраической линии можно привести к виду:

т. е. левая часть такого уравнения есть сумма членов вида , где А — постоянное число, s и t — целые положительные числа (или нули) Говоря кратко, левая часть уравнении алгебраической линии есть целый многочлен Каждый член многочлена имеет определенное измерение, равное сумме показателей при Наивысшее из измерений всех членов уравнения называется степенью этого уравнения Если алгебраическая линия определяется в декартовых координатах уравнением степени, то она называется линией n-го порядка

Так, в предыдущем примере мы имели линию 3-го порядка; всякой прямой линии в декартовых координатах соответствует уравнение первой степени, и следовательно, прямая линия есть линия 1-го порядка; наконец, окружность, эллипс, гипербола и парабола суть линии 2-го порядка, потому что им в декартовых координатах соответствуют уравнения второй степени Чтобы это деление алгебраических лииий по их порядкам было законным, необходимо показать, что оно не зависит от выбора осей координат, т. е. что порядок линии остается неизменным при любом преобразовании координат. В самом деле, формулы преобразования декартовых координат в декартовы же, как мы в свое время отметили, явтяются линейными, т. е. первой степени Следовательно, заменяя в ебраическом уравнении порядка х и у их выражениями

первой степени через X и Y, мы не можем повысить порядок уравнения, т. е., обозначая через степень преобразованною уравнения, мы имеем:

С другой стороны, путем обратного преобразования мы переходим от нового уравнения степени к старому степени , и, следовательно, так как степень уравнения не может повыситься, то должно быть:

Из сопоставления этих неравенств заключаем: т. е. поряоок уравнения не изменяется при преобразовании декартовых координат. Итак, порядок алгебраической линии не зависит от выбора осей координат, а зависит лишь от свойств самой линии.

В указанной классификации линий весьма существенным является то обстоятельство, что в основу положена декартова система координат Эта классификация теряет всякий смысл, если пользоваться полярными координатами В самом деле, как мы видели, окружность в полярных координатах может быть определена различными уравнениями:

и

смотря по выбору полюса и полярной оси Первое из написанных уравнений относительно текущих координат есть алгебраическое и первой степени, второе же — трансцендентное. Таким образом, в полярных координатах одна и та же линия может определяться как алгебраическим, так и трансцендентным уравнением, смотря но выбору полюса и полярной оси. Вследствие этою нельзя классифицировать линии на основе их уравнений в полярных координатах.