§ 11. Векторное произведение.
Векторным произведением двух векторов А и В называется новый вектор С, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах А и В, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от А к В вокруг полученного вектора С представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора С (рис. 102).
Если векторы А и В параллельны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору.
Из этого определения следует, что длина вектора С равна:
т. е. произведению длин перемножаемых векторов, умноженному ни синус угла между ними.
Векторное произведение А на В обозначается символом 
или 
Векторное произведение равно нулевому вектору в том и только том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или если эти векторы параллельны (коллинеарны). В самом деле: если 
или 
или 
, то 
а потому 
Обратно, если 
и перемножаемые векторы не являются нулевыми, то 
, потому что из условия 
при 
вытекает 
. Так как нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору, то мы можем сказать, что векторное произведение равно нулевому вектору в том и только том случае, когда перемножаемые векторы коллинеарны. Таким образом, условие коллинеарности векторов будет:
(22)
В частности, всегда
вследствие чего является излишним вводить понятие о векторном квадрате вектора, в то время как мы рассматривали скалярный квадрат в связи со скалярным умножением.
Замечание. Условие (22) коллинеарности двух векторов А и В возможно заменить следующим:
где 
— некоторое число (§ 4) (считая 
Если векторы А и В взаимно перпендикулярны, то 
и, значит, длина вектора-произведения равна произведению длин векторов сомножителей:
Пример 1. Проверить справедливость равенств 
где i, j, к суть основные координатные векторы.
Так как векторы i и j направлены по осям координат Ох и Оу, то вектор 
будет направлен по оси 
. С другой стороны, длина этого векгора ранна площади прямоугольника, построенного на i и j, т. е. 1. Следовательно, 
Также очевидно, что 
имеет длину, равную единице, и направлен в отрицательную сторону оси Ох, следовательно, 
Пример 2. Показать, что 
Действительно,
складывая, находим:
В механике важное значение имеет понятие момента силы относительно данной точки. Если сила F приложена к точке А (рис. 103), то моментом силы F относительно точки О называется вектор М, определяемый формулой
где 
есть радиус-вектор точки приложения. Из определения векторного произведения следует, что величина момента равна величине силы, умноженной на расстояние ОР точки О от прямой, вдоль которой действует сила.
Рис. 103.
