§ 7. Скалярное произведение векторов.
В механике и физике часто приходится иметь дело со следующей задачей: найти работу силы F, если точка, на которую действует сила, совершила перемещение 
Если точка движется по направлению силы, то, по определению, работа силы равна произведению величины силы на длину перемещения, т. е. AF. Если же точка движется под углом 
к направлению силы, то работает только та слагающая силы OF, которая направлена по линии ОА, а перпендикулярная слагающая уравновешивается сопротивлением. Проектируя силу на направление пути, получим (рис. 100):
Следовательно, работа силы будет равна:
Рис. 100.
Таким образом, по двум данным векторам F и А мы определяем скаляр 
Последний называют скалярным произведением векторов А и F. Итак, по определению, скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними.
Скалярное произведение принято обозначать одним из трех, способов:
Согласно определению имеем:
где под 
подразумевается угол между векторами А и В. Заметив, что 
есть проекция вектора В на направление вектора А, мы можем написать:
аналогично:
или словами: скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию другого вектора на направление первого.
В частности, если 
есть единичный вектор, то
т. е. при скалярном умножении вектора А на единичный вектор получаем проекцию этого вектора А на направление единичного вектора.
