§ 12. Диаметры зллипса. Сопряженные диаметры.

Рассмотрим эллипс, отнесенный к его осям симметрии:

и систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом (рис. 61).

Рис. 61.

Посмотрим, как располагаются середины этих хорд. Иными словами, выясним, каким условием связаны координаты середин параллельных между собой хорд эллипса. Возьмем любую из хорд и обозначим ее концы через а середину — через М (X, У). Так как точки лежат на эллипсе, то их координаты должны удовлетворять его уравнению (16), т. е.

Выражая угловой коэффициент прямой линии через координаты двух ее точек (гл. III, § 12), будем иметь:

Наконец, заметив, что точка М является серединой отрезка получим:

Исключим из пяти соотношений (17)-(21) четыре вспомогательные величины . С этой целью, вычитая равенство (17) из равенства (18), найдем:

или

Виося в последнее равенство согласно (20) вместо суммы ее значение , а вследствие (21) вместо суммы ее значение и согласно (19) вместо разности ее выражение , мы придадим ему вид:

сокращая на мы получим окончательно;

откуда (при )

Таким образом, координаты середин параллельных между собой хорд эллипса связаны линейной зависимостью. И, значит, середины параллельных хорд располагаются на прямой

В наших рассуждениях мы предполагали, что рассматриваемые хорды имеют угловой коэффициент и, следовательно, не параллельны оси Оу. Середины хорд, параллельных оси Оу, тоже лежат на прямой — на оси Ох (в силу симметрии эллипса относительно осн Ох).

Итак, середины параллельных хорд эллипса лежат на прямой.

Прямая, проходящая через середины параллельных хорд эллипса, называется его диаметром. Все диаметры эллипса проходят через центр. Обозначая угловой коэффициент диаметра эллипса через имеем:

или

Условимся называть диаметр эллипса сопряженным хордам, через середины которых он проходит. Условие (23) или (23) связывает между собой угловые коэффициенты параллельных хорд и сопряженного им диаметра. Так как это

условие симметрично относительно , т. е. не меняется после перестановки , то отсюда заключаем: если диаметр с угловым коэффициентом сопряжен хордам с угловым коэффициентом то и диаметр с угловым коэффициентом сопряжен хордам с угловым коэффициентом кг.

Таким образом, мы получаем пару диаметров, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому диачетру (рис. 61). Такие два диаметра эллипса называются сопряженными между собой. Их угловые коэффициенты к, и кг связаны условием (23) или (23).

Итак, у эллипса имеется бесчисленное множество пар сопряженных между собой диаметров: каждому диаметру соответствует свой сопряженный диаметр. В частности, оси координат (оси симметрии эллипса) представляют собой пару сопряженных диаметров. Эти два сопряженных между собой диаметра эллипса являются взаимно перпендикулярными. Такие диаметры называют главными диаметрами эллипса.

Из условия (23) следует, что угол между любой другой парой сопряженных между собой диаметров эллипса (b Ф а) отличен от прямого. Если же , т. е. эллипс обращается в окружность, то условие (23) обращается в условие перпендикулярности: Таким образом, сопряженных диаметра окружности перпендикулярны между собой, т. е. всякий диаметр окружности есть главный диаметр (ось симметрии).

Из условия (23) видно, что угловые коэффициенты двух сопряженных диаметров эллипса имеют разные знаки, т. е. диаметры проходят в смежных четвертях.

При увеличении к, угловой коэффициент по абсолютной величине уменьшается, т. е. алгебраически также увеличивается. Это показывает, что при вращении диаметра эллипса против часовой стрелки сопряженный с ним диаметр вращается в ту же сторону.

Пример. Определить длину диаметра эллипса сопряженного диаметру, делящему пополам первый координатный угол (длиной диаметра считают расстояние между точками пересечения его с кривой).

Угловой коэффициент данного диаметра есть 1. Из условия (23) находим угловой коэффициент кг диаметра, ему сопряженного:

Здесь Следовательно, Уравнение этого диаметра будет:

Чтобы найти его длину, нужно определить точки его пересечения с эллипсом, для чего решим совместно уравнения эллипса и диаметра:

Подставляя в первое уравнение выражение у из второго, найдем:

Зная абсциссы точек пересечения, найдем их ординаты:

По формуле расстояния между двумя точками находим длину d искомого диаметра:

откуда