ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

ЗАДАЧИ К § 14

4.1. В параллелепипеде грани — квадраты со стороной d. Найдите объем параллелепипеда (рис. Р 3. 55).

Если то объем равен Если то данный параллелепипед не является прямым. А формула объема

известна пока только для прямого цилиндра и, значит, для прямого параллелепипеда. Как же быть?

Внимательно рассматривая рисунок Р 3.55, можно заметить, что так как Но ведь нам ничто не мешает считать основанием параллелепипеда грань . А тогда параллелепипед становится прямым!

Рис. Р 3.55

Найдем его объем:

Заметим, что ответ для случая, когда - 90°, входит частным случаем в полученный результат. Поэтому, окончательно, имеем:

4.2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1 и составляет с двумя ребрами основания углы а и . Чему равен объем параллелепипеда?

Как правило, при решении таких задач идет работа с формулой объема. В этой формуле какие-то величины оказываются неизвестными и задача сводится к тому, чтобы эти неизвестные величины выразить через известные.

Сделаем рисунок (рис. Р 3.56): он вряд ли требует разъяснений.

Пожалуй, стоит заметить, что так как все диагонали в прямоугольном параллелепипеде равны, то можно рисовать любую из них.

Рис. Р 3.56

Итак, пишем формулу объема V = SН (V - объем, S — площадь основания, Н — высота). Но Обозначим для удобств — Тогда

Окончательно,

Вроде бы ответ получен, но одно обстоятельство настораживает: под знаком радикала стоит выражение — откуда мы знаем, что оно положительное? И вот еще, в окончательном выражении для объема находятся косинусы, но ведь они тоже не обязаны, вообще говоря, быть больше нуля. А объем — всегда положителен.

Вот с этим-то мы сейчас и будем разбираться.

Сначала — косинусы. Они положительны потому, что являются косинусами острых углов в прямоугольных треугольниках (?).

Выражение сначала упростим,

Нам надо, чтобы было больше 0. Имеем:

(т.к. углы — острые). Но

Так как , то понимаем, что подкоренное выражение положительно.

К этому же итогу мы придем, выясняя, при каких существует наш параллелепипед. Таковой существует тогда и только тогда, когда Первые два ограничения подразумеваются, а далее имеем

Вот теперь можно поставить точку.

4.3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Какой таких цилиндров имеет наибольший объем? В каких границах находится объем такого цилиндра, если радиус цилиндра изменяется в промежутке

Эта задача — стандартам, но именно в ее решении все должно быть четко.

Рис. Р 3.57

Рисунок к ней достаточно сделать планиметрическим (рис. Р 3.57). Здесь прямоугольник ABCD — осевое сечение цилиндра, — диаметр основания цилиндра, CD — его высота. Тогда

Обозначим Получаем

Нам нужно придти к объему как функции от одной переменной. Поэтому нужна какая-то связь между переменными х и у. Она находится из отсюда

Проще будет (без радикалов!), если из последнего равенства выразить и полученное для него выражение подставить в выражение для объема.

Имеем

Тогда

Дробь — можно пока убрать из рассмотрения — не в ней (константе) дело. Поэтому будем рассматривать вместо объема V другую более простую функцию Именно ее будем исследовать и начнем с границ для переменной у.

По смыслу задачи но исследование удобнее вести на . Теперь

Найденное значение у попадает в промежуток

Считаем: . Значит при функция V, а тогда и V достигает наибольшего значения.

Подсчитав соответствующее значение мы можем ответить на вопрос задачи. Наибольший объем имеет такой цилиндр, в котором отношение высоты к радиусу равно (Такой результат получится при любом значении диагонали осевого сечения).

А теперь перейдем ко второму вопросу задачи.

Если , то — Удобнее взять —

Критическое значение переменной у, равное не лежит в этом промежутке (?).

V на этом промежутке отрицательна(?). Но тогда V на этом промежутке убывает. Поэтому наибольшее значение достигается при а наименьшее — при

Учитывая, что окончательно получаем

4.4. В кубе расположен цилиндр так, что его ось лежит на диагонали куба. В каком положении он имеет наибольший объем?

Особенностью этой задачи является нестандартная конфигурация куба и цилиндра. Ее надо хорошо "увидеть", прежде, чем решать задачу и даже прежде, чем делать рисунок.

Надо увидеть, что основания в цилиндре наибольшего объема "упираются" в грани куба, каждое основание — в три соседних грани куба; надо увидеть симметричность его положения относительно диагональной плоскости куба.

После этого делаем рисунок, причем сам цилиндр рисовать не будем (рис. Р 3.58). Здесь — куб. — центры оснований цилиндра, К и L — точки, в которых

Рис. Р 3.58

Рис. Р 3.59

основания цилиндра "упираются" в грани куба. Теперь ясно, что вся информация для решения задачи содержится в сечении куба Вынесем его отдельно (рис. Р 3.59). Пусть ребро куба равно Тогда в прямоугольнике высота цилиндра, обозначим ее и — радиусы оснований цилиндра, обозначим их .

Для объема V цилиндра имеем Уберем одну из переменных. Можно заметить, что

Из имеем

Из имеем

значит

Тогда

Дальше — выкладки на

поэтому при а значит и V достигает наибольшего значения (?).

Осталось заметить — найденное значение для Н показывает, что оно равно диагонали куба, а центры оснований цилиндра делят диагональ куба на 3 равные части.

4.5. Площадь боковой грани правильной треугольной призмы равна 1. Какая из таких призм имеет наибольший объем?

Задача проста, но ответ не типичен. На рисунке Р 3.60 ребро основания правильной треугольной призмы обозначено через а ее высота через у.

По формуле объема

Имеем

Тогда

Рис. Р 3.60

По условию площадь боковой грани равна 1, поэтому откуда . Тогда

Как видим, функция — линейная. На указанном промежутке она не имеет наибольшего значения.

Поэтому ответ на вопрос задачи буквально такой — никакая.

4.6. При каком условии достигает граничных значений объем прямоугольного параллелепипеда, у которого сумма трех измерений равна

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда Тогда, согласно условию Объем V параллелепипеда в нашей задаче решен произведению его измерений, т. е.,

Из этой формулы, использовав условие, можно исключить одну из переменных, например

Тогда

Попытки убрать из этого выражения еще одну переменную бесплодны, ибо никакой связи, кроме данной в условии, между ними нет. А находить экстремальные значения для функции от двух переменных в общем случае в школе не учат.

Что же делать?

Может быть вам известно неравенство Коши для неотрицательных переменных? Оно выглядит так

Здесь — число переменных, слева записано их среднее геометрическое, а справа — их среднее арифметическое.

Для двух переменных оно выглядит так

В нашей задаче переменных три — . Так как они положительны, то запишем для него неравенство Коши:

Так как по условию то

откуда

то

А когда ? Дело в том, что равенство между средним геометрическим положительных чисел и их средним арифметическим достигается, и происходит это тогда, когда все числа равны.

Итак, наибольшее значение объема равно и достигается оно при то есть в кубе.

Доказательство неравенства Коши можно найти во многих задачниках по алгебре.

4.7. Дан полушар. В каком положении находится в нем цилиндр, имеющий наибольший объем?

Поначалу задача немного пугает — во-первых, полушар вместо шара, во-вторых, цилиндр может располагаться в нем множеством способов. Какой же выбрать?

Выберем два наиболее определенных положения цилиндра в полушаре.

Первое — когда центр одного его основания совпадает с центром полушара (то есть с центром того шара, от которого остался полушар). Ясно, что такой цилиндр будет иметь наибольший объем, когда второе его основание будет находиться на поверхности полушара.

Второе — когда одна из образующих его поверхности лежит в плоскости большого круга данного полушара и проходит через его центр. Ясно, что такой цилиндр будет иметь наибольший объем, когда его основания будут "упираться" в полусферу.

Рисунок будем делать сразу же планиметрическим, проведя самое "информативное" сечение данной конфигурации (рис. Р 3.61).

Рис. Р 3.61

В первом случае на рисунке — диаметр полушара, О — центр полушара и одного основания цилиндра, KLMN — осевое сечение. Обозначим Тогда

Из треугольника OMN имеем то есть,

поэтому

Дальнейшие вычисления приводят к такому наибольшему значению объема

Во втором случае на рисунке Р 3.61 АВ — диаметр полушара, KN — образующая цилиндра, KLMN — его осевое сечение. Обозначим Тогда

Из треугольника OMN имеем то есть

поэтому

Дальнейшие вычисления приводят к такому наибольшему значению объема

Осталось сравнить и и получить ответ.

4.8. Объем правильной треугольной призмы равен V, угол между диагоналями двух граней, проведенных из одной вершины, равен а . Найдите сторону основания призмы.

Рис. Р 3.62

Задача как бы обратная: обычно находят объем, зная линейные элементы, а здесь предлагается сделать наоборот. Ничего страшного.

На рисунке введены все необходимые обозначения:

Согласно условию имеем такие зависимости:

Отсюда получаем систему

Из первого уравнения выражаем подставляем полученное выражение во второе уравнение и получаем уравнение, из которого находим у:

А тогда

ЗАДАЧИ К § 15

4.9. Через диаметр основания цилиндра проведена плоскость под углом к основанию. Радиус цилиндра равен R. Найдите объем отсеченной части цилиндра.

Заметим, что отсеченных от цилиндра частей две. Условимся искать объем той части цилиндра, которая имеет меньший объем.

Вид этих частей существенно зависит от величины угла Будем считать, что величина угла такова, что отсеченные части цилиндра имеют вид, изображенный на рисунке Р 3.63.

Рис. Р 3.63

На этом рисунке видны две симметричные относительно части. Найдем объем одной из них, а потом удвоим полученный результат (?).

Запишем формулу объема через интеграл

Здесь — площадь прямоугольного треугольника KLM с катетами и острым углом Поэтому

Тогда

а объем отсеченной части равен —

Тот же результат можно получить, проводя сечения перпендикулярно (ОС).

Теперь рассмотрите величину угла при которой плоскость сечения пересечет и другое основание цилиндра, причем не по его диаметру. А

ЗАДАЧИ К § 16

4.10. Как найти объем усеченного конуса, зная радиусы его основания и высоту?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

1. Объем усеченного конуса V вычислим как разность объемов двух конусов: , где — объем большего конуса, объем меньшего конуса. Введем следующие обозначения:

— радиус большего основания усеченного конуса,

— радиус меньшего основания усеченного конуса,

Н — высота усеченного конуса,

— высота меньшего конуса.

Рис. Р 3.64

На рисунке Р 3.64, показано осевое сечение двух конусов — большего и меньшего, а также осевое сечение усеченного конуса. Согласно принятым обозначениям,

Запишем формулы для объемов:

Тогда

В этом равенстве нам известна величина . Выразим ее через данные величины. Из подобия треугольников имеем:

откуда

Тогда

2. Этот же результат можно получить иначе. Так как меньший и больший конусы подобны, то где к — коэффициент подобия. Тогда

Но значит,

Далее, откуда получаем

после чего приходим к той же формуле.

3. Наконец, можно вычислить объем усеченного конуса как объем тела вращения, используя интеграл.

Рассмотрим в системе координат трапецию OABD, вращением которой вокруг оси получаем усеченный конус (рис. Р 3.65). Тогда ОА — радиус меньшего основания, обозначим его , DB — радиус большего основания, обозначим его R, OD— высота конуса, которую обозначим Я .

Рис. Р 3.65

Формула объема через интеграл для тела вращения выглядит так:

Здесь — выражение для функции, график которой вращается вокруг оси и Н — границы интегрирования. В нашем случае уравнение отрезка АВ запишем в виде

Из рисунка видно, что

Тогда

После соответствующих преобразований придем к той же формуле.

В заключении заметим, что цилиндр и конус можно рассматривать как частные (точнее, предельные) случаи усеченного конуса (в дальнейшем при вычислении площадей их поверхностей так и делать). Цилиндр получится, если взять конус получится, если взять Но тогда объем цилиндра и объем конуса можно найти по формуле объема усеченного конуса.

В самом деле, для цилиндра получим:

а для конуса получим:

что соответствует действительности.

Однако все это рассуждение справедливо только для конуса, а для цилиндра нет. Подумайте почему.

4.11. Пусть PABCD — пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной (рис. Р 3.66). Двугранный угол при ребре PD равен 120°. Вычислить объем пирамиды.

Поиск тех или иных геометрических величин, как правило, начинается с того, что выписывается нужная формула. Затем из анализа условия задачи выясняется, что в этой формуле легко найти, а что неизвестно. После этого сосредотачивают усилия на поиск неизвестной величины.

Поэтому запишем формулу для объема пирамиды исходя из условия, находится моментально: поэтому осталось вычислить высоту пирамиды, т.е. (рис. Р 3.66). Это вычисление можно выполнить несколькими способами, попробуйте найти их самостоятельно.

Рис. Р 3.66

Вспомним, что мы уже видели пирамиду, похожую на данную.

В самом деле, возьмем куб с ребром 1 и соединим вершину В, с вершинами основания А, В, С, D. Полученная пирамида и будет данной в условии задачи, ибо двугранный угол при ребре равен 120° (?). Но если данная пирамида — часть куба с ребром 1, то и ее объем равен

Ответ получен, но решения пока

Нам нужно еще доказать, что данная пирамида действительно часть куба с ребром 1, т. е. утверждение, обратное тому, которое мы вспомнили.

Для этого воспользуемся такими соображениями:

1. Во всяком кубе двугранный угол при диагонали BXD равен

2. Зависимость величины двугранного угла при диагонали от строго монотонная !?). (Какая именно монотонность?)

3. Но тогда и обратная зависимость от величины этого двугранного угла строго монотонная. Отсюда следует, что в пирамиде PABCD двугранному углу при ребре PD, равному соответствует Что и требовалось доказать.

Эта идея реализовалась именно потому, что был дан угол При угле а тем более в общем случае, пришлось бы искать другие пути для решения задачи. А

4.12. На ребрах трехгранного угла с вершиной О отложены точки А и К на одном ребре, В и L на другом ребре, С и М на третьем ребре. Докажите, что отношение объемов тетраэдров ОАВС и OKLM равно

Рис. Р 3.67

Нарисуем картинку так, чтобы основания тетраэдров не "налезали" друг на друга — это не скажется на достоверности полученного результата (рис. Р 3.67 а). Теперь можно долго смотреть на этот рисунок, но так ничего и не увидеть.

Секрет задачи в том, чтобы его "перевернуть", именно сделать основаниями тетраэдров треугольники ОАС и ОКМ . Вот так, как на втором рисунке (рис. Р 3.67 б). На нем проведены еще высоты и Теперь перейдем к формулам.

Далее,

Поэтому

что и требовалось.

4.13. Как найти объем тетраэдра, если известно, что его основанием является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом боковые ребра у него равны, а угол между боковыми гранями, проходящими через катеты, равен

Рис. Р 3.68

Найти объем тетраэдра в большинстве случаев — это найти площадь его основания и высоту. С площадью основания здесь проблем нет. Она равна — Чтобы найти высоту сделаем рисунок, но не торопясь, а вникнув в условие задачи. Так как боковые ребра тетраэдра равны, то равны их проекции на плоскость основания. Значит, проекция вершины тетраэдра равноудалена от вершины основания, то есть является центром окружности, описанной около основания — прямоугольного треугольника. Известно, что такой точкой является середина гипотенузы. Вот теперь можно делать рисунок (рис. Р 3.68). На нем — середина гипотенузы.

Проблема в том, чтобы найти а дан у нас еще двугранный угол между гранями PCА и PCВ .

Но тогда, зная его величину мы сможем найти величину угла РСА (и угла РСВ, так как они равны — по теореме косинусов для трехгранного угла). Зная угол РСА при

Рис. Р 3.69

основании равнобедренного треугольника РАС и найдем РА . Зная РА и найдем PQ — высоту тетраэдра. А

4.14. Все ребра четырехугольной пирамиды равны — ее высота. В каком отношении делит ее объем сечение, проходящее через: а) отрезок BD параллельно РА АС перпендикулярно PD; в) Q параллельно боковой грани.

а) Начнем с рисунка (рис. Р 3.69). Здесь BDK — данное сечение, при этом . Задачу можно решить и "в лоб", но любопытно применить здесь результаты задачи 4.12. Тогда

А так как то сврк и плоскость сечения делит объем данной пирамиды в отношении

Рис. Р 3.70

Рис. Р 3.71

б) Теперь рисунок Р 3.70 чуть иной. Здесь Решение остается тем же.

Из прямоугольного треугольника PQD можем записать пропорцию(?)

а так как (разумеется, это можно получить иначе, но хотелось напомнить вам полезное соотношение в прямоугольном треугольнике), так как L — середина , то результат тот же, что и в пункте а).

в) Рисунок в этом случае таков (рис. Р 3.71). На этом рисунке Но подключив отрезки KN, LN, AN, PN можно осуществить ту же идею

А так как

Далее,

А так как

то

Но тогда

а поэтому

а потому отношение объемов полученных частей пирамиды равно .

4.15. Какой из тетраэдров РАВС имеет наибольший объем среди тетраэдров, у которых все ребра, кроме одного, равны

Пусть в тетраэдре РАВС ребро PC отлично от 1, а все прочие ребра равны 1. Сделав нужный рисунок мы видим, что для нахождения высоты тетраэдра данных не хватает (рис. Р 3.72). В самом деле, мы можем вращать треугольник АВР вокруг АВ. При этом все данные из условия не изменятся, однако положение вершины Р, а затем и величина PQ будут как-то меняться. Но как — неясно.

С другой стороны, "видно", что точка Р при этом вращении будет дальше всего от основания ABC тогда, когда грань РАВ будет ему перпендикулярна. Вот тогда тетраэдр и будет иметь наибольший объем.

Рис. Р 3.72

Для пущей важности можно написать такое равенство

где РК — апофема тетраэдра в грани РАВ, и так как то наибольшее значение для PQ мы получим, когда

Но результат уже и так ясен.

4.16. В правильной четырехугольиой пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса , центры которых находятся на оси симметрии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а другой — основания пирамиды и первого шара. В каком положении пирамида имеет наименьший объем?

Начнем с рисунка (рис. Р 3.73).

Рис. 3.73

На нем нет шаров, а есть их центры их точка касания К, РМ и PN — апофемы пирамиды, точка L — точка сферы с центром лежащая на PQ. Поскольку точки касания шара с центром и граней РАВ и PCD находятся на апофемах РМ и PN (?), постольку для решения задачи важно сечение всей конфигурации плоскостью PMN. Перейдем к этому сечению (рис. Р 3.74).

Рис. Р 3.74

Точка Т на этом рисунке — точка касания шара с центром с гранью PCD. Согласно условию,

По формуле объема пирамиды

Теперь нужно ввести переменные. Одной из них выберем а другой (Можно было бы обойтись только алгеброй, но и с тригонометрией надо уметь работать.)

Теперь имеем

Тогда

Переменную х "уберем" из , в котором

то есть

откуда

Тогда

Рассмотрим функцию

где . Ее производная

Далее,

Проверьте, что при таком значении а объем является, во-первых, минимальным, а, во-вторых, наименьшим.

Искомое положение нашей пирамиды должно задаваться двумя независимыми и определяющими ее параметрами. Один из них был дан — это , а другой — a — мы указали.

4.17. В шаре радиуса R провели два параллельных сечения. Как найти объем части шара, заключенной между этими сечениями? (Часть шара, заключенная между параллельными плоскостями, называется шаровым слоем.)

Рис. Р 3.75

Сначала нужно увидеть возможность двух случаев расположения сечений. Первый случай — когда сечения находятся в одном полушаре, второй случай — когда нет полушара, в котором они находятся. Затем надо понять, что не нужно рисовать сам шар вместе с его сечениями. Достаточно нарисовать круг, а в нем две параллельные хорды (?).

В первом случае рассмотрим рисунок Р3.75а. Шаровой слой получается от вращения этой конфигурации вокруг вертикального радиуса ОМ. Его объем получится, если от объема шарового сектора, образованного вращением кругового сектора ОAM, отнять объем шарового сегмента, образованного вращением кругового сегмента CMD, а затем еще отнять объем конуса, образованного вращением треугольника ОАК.

Во втором случае рассмотрим рисунок Р3.75б. Ясно, что искомый объем получится, если от объема шара отнять объем

двух шаровых сегментов, полученных вращением круговых сегментов CMD и AN В вокруг диаметра MN.

Рис. Р 3.76

Но можно объем V шарового слоя получить с помощью интегральной формулы (1) п. 15.2 так же, как была получена формула для объема шара в п. 16.3. Как и в п. 16.3 введем координату на прямой ОМ, считая центр О началом координат, а координаты точек К и L полагая, соответственно, (рис. Р 3.76). Тогда

Величины определяемые равенствами являются радиусами "оснований" шарового слоя, а разность является "толщиной" шарового слоя.

Преобразуя правую часть равенства (1), получим:

Объемы каких тел выражают слагаемые в этой сумме?

Рис. Р 3.77

4.18. Ребра основания прямоугольного тетраэдра известны. Как найти его высоту?

В прямоугольном тетраэдре все плоские углы при его вершине прямые. Сделав рисунок (рис. Р 3.77), мы видим, что

найти высоту PQ тетраэдра к основанию ABC, действуя "в лоб", не просто. Найти боковые ребра мы сможем, а потом что?

Надо искать другие пути, и здесь нам поможет объем. В самом деле, пусть . Тогда, с одной стороны,

Но за основание тетраэдра можно взять любую грань, например РАС . Тогда его высотой будет ВР (?), поэтому

Из этих двух выражений для объема имеем равенство

Но площадь треугольника ABC по трем его сторонам а, b, с находится (?); х, y, z находятся из системы

А затем найдем и

4.19. Как найти расстояние между прямыми, проходящими через скрещивающиеся диагонали соседних граней прямоугольного параллелепипеда, в котором известны его ребра?

Находить расстояние между скрещивающимися прямыми всегда непросто. И тут может помочь объем.

Рис. Р 3.78

Пусть требуется найти расстояние между прямыми (рис. Р 3.78). Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, но где он — этот перпендикуляр? Поэтому вспомним, что это же расстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат данные прямые (такими плоскостями у нас являются плоскости ). А расстояние между параллельными плоскостями измеряется длиной

любого перпендикуляра, проведенного из точки одной из этих плоскостей на другую плоскость. Но этот, последний перпендикуляр можно искать как высоту некоторого тетраэдра.

Итак, будем искать расстояние от D, до плоскости как высоту в тетраэдре из вершины Тоже непросто, но мы знаем обходной маневр. Рассмотрим тот же тетраэдр, но будем считать его основанием грань Его объем находится моментально!?). А так как находится и площадь треугольника (?), то зная объем тетраэдра находим и нужное нам расстояние. А

4.20. Как определить объем пирамиды с равными боковыми ребрами, если в основании ее лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным а , боковой стороной а, и вершина пирамиды удалена от неравной стороны основания на расстояние

Рис. Р 3.79

Задача кажется простой. В самом деле, площадь основания пирамиды находится прямо по формуле (?), осталось найти высоту. Тут и начинаются "маленькие тонкости". Согласно условию, вершина пирамиды равноудалена от вершин основания, значит, она проектируется в центр окружности, описанной около основания. Известно, однако, что центр такой окружности может лежать внутри треугольника, на его стороне или вне его — все зависит от величины угла а , соответственно, является он острым, прямым или тупым. Так что же — делать рисунок на каждый из этих случаев? Отнюдь! Хватит и одного рисунка, пусть это будет для случая тупоугольного треугольника (рис. Р 3.79). Здесь — высота,

Тогда Затем находим , потом , потом как радиус R описанной около AABC окружности. Находим его по формуле , а потом и PQ из треугольника

И все эти выкладки проходят при любом положении точки Q относительно треугольника ABC.

4.21. Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания а и плоским углом при вершине, равным углу наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.

Задача проста, но любопытна тем, что ее не сделать без тригонометрии. Рисуем пирамиду РАВС и ее высоту PQ (рис. Р 3.80). Согласно условию Обозначим его через Тогда

Тогда

Рис. Р 3.80

Для нахождения воспользуемся теоремой косинусов для трехгранного угла с вершиной А и ребрами . Имеем:

то

Здесь надо обязательно проверить, что найденное значение синуса меньше

Дальше, зная надо найти Один из путей таков: находим , затем , потом и, наконец,

Можно иначе: найти потом потом затем и, наконец, . В тригонометрии много путей...

Не всегда задачки с применением тригонометрии решаются так просто. Например, если бы было дано, что плоскому углу при вершине равен угол боковой грани с основанием, тогда как?

ЗАДАЧИ К § 17

4.22. Два цилиндра имеют одинаковые объемы и площади поверхностей. Равны ли эти цилиндры?

Задачи, в которых предлагается найти (вычислить) площадь поверхности, как и объем, не всегда имеют вполне самостоятельное значение. Чаще всего они сводятся к нахождению величин тех элементов фигуры, которые определяют данную в задаче фигуру однозначно — например, радиус для шара, радиус и образующую для цилиндра и т.д. Более или менее самостоятельное значение имеют задачи, где используется какая-либо "экзотическая" формула для площади поверхности. Например: для фигуры объемом V, описанной вокруг шара радиуса для площади боковой поверхности конуса (правильной пирамиды), у которого S, — площадь основания, а угол между образующей (для пирамиды — боковой гранью) и основанием; для площади боковой поверхности призмы, где SL — периметр перпендикулярного сечения призмы, боковое ребро.

Интересно, однако, "повозиться" с самими формулами площадей. Такая "возня" и ожидает нас в предлагаемой задаче.

Сначала проверьте свое геометрическое воображение — какой ответ оно подсказывает вам?

А теперь перейдем к выкладкам. Цилиндр однозначно определяется радиусом основания и образующей, поэтому равенство цилиндров равносильно соответственному равенству этих его основных элементов. Итак, пусть есть два цилиндра. У первого из них обозначим радиус основания как образующую объем — F, и площадь поверхности . У второго, соответственно,

Нам дано, что . Требуется выяснить, выполняется ли совместное равенство Иначе говоря, следуют ли из равенств

и

равенства

Сразу ясно, число тут не при чем, и потому уберем его из исходных равенств.

Задачу можно несколько упростить таким образом. Если мы докажем, что система уравнений

и

имеет единственное решение, то получим, что не может быть двух разных наборов значений величин R и которые дадут нам нужные равенства объемов и площадей, а тогда цилиндры и получаются равными.

С системой из двух переменных (1) и (2) работаем так. Выразим из (1) L и подставим его значение в (2). Получим в итоге упрощений кубическое уравнение относительно Оно имеет такой вид: (при условии

Можно показать(?), что такое уравнение может иметь два положительных корня, но таковые нам и нужны! (В конкретном примере можно это увидеть, взяв

Для нашей задачи получается, что однозначно величины R и L из системы уравнений (1) и (2) находятся не всегда, а потому цилиндры с равными объемами и площадями поверхностей не обязательно равны.

Ваше геометрическое воображение показало вам именно такой ответ? А

4.23. Как вычислить площадь поверхности, полученной при вращении равнобокой трапеции с основаниями боковой стороной, равной 1, вокруг боковой стороны?

Рис. Р 3.81

В задачах этого вида очень важен хороший рисунок. Прежде всего, для удобства, ту сторону, через которую проходит ось вращения, изобразим вертикальной.

Начинать работу надо с планиметрического рисунка и только потом, в случае необходимости, переходить к пространственному. Вот и мы начнем рисовать ту трапецию, которая, согласно условию, вращается (рис. Р 3.81).

Прежде всего надо увидеть получающиеся поверхности вращения. От вращения отрезка ВС, как и от вращения отрезка AD, получаются боковые поверхности конусов; отрезок CD не даст поверхности вращения, а вот что будет от вращения отрезка Боковая поверхность усеченного конуса (если АВ не перпендикулярно CD) или кольцо (если

Вычисления показывают, что угол между АВ и CD равен Значит, стоит рисунок сделать получше. Вот так (рис. Р 3.82).

Полезно будет заметить, что Проведем также ВК

Рис. Р 3.82

Теперь переходим к выкладкам. Обозначим — площади поверхностей вращения, полученных в результате вращения ВС, AD, АВ соответственно.

Теперь:

и АВ известны по условию, АС и В К найти совсем несложно (?) после чего остается только арифметика. А

4.24. Как вычислить радиус сферы, вписанной в четырехугольную пирамиду, у которой основанием является квадрат со стороной 1, высота равна 1, а вершина проектируется в точку В?

Используя объем и площадь поверхности, эту задачу можно решить, не рисуя ни вписанного шара, ни даже его

Рис. Р 3.83

центр и радиус. Нарисуем лишь пирамиду PABCD, у которой вершина Р проектируется в точку В (рис. Р 3.83). Для объема V многогранника, описанного около шара радиуса имеющего площадь поверхности есть формула, связывающая эти величины, именно

(Любопытно сравнить ее с аналогичной формулой для многоугольника, описанного около круга радиуса R, имеющего площадь S и периметр )

Отсюда получим:

А найти У и S в этой задаче несложно:

Тогда

Но хотя вычисления и закончены, задача, увы, еще не решена. Дело в том, что формула, по которой мы нашли R, "работает" только тогда, когда в данный многогранник можно вписать шар. Вписать шар, как мы знаем, можно в любой тетраэдр и в любую правильную пирамиду — если говорить о пирамидах. А наша пирамида — ни та, ни другая. Поэтому существование вписанного шара еще надо доказать. Оно сведется к доказательству существования точки, равноудаленной от всех граней этой пирамиды, на нашу удачу несложного.

Рис.

Рис.

Можно, к примеру, построить биссектора двугранных углов при ребрах РВ, AD и АВ и увидеть нужную нам точку в их пересечении (?).

Можно построить ту же точку, взяв перпендикуляры к плоскостям РВС и РАВ из центров окружностей, вписанных в эти грани, и доказав, что они пересекаются (?).

И только теперь мы можем считать задачу решенной.

4.25. В тетраэдре РАВС Объем этого тетраэдра равен 1. Как найти площадь его поверхности?

Сделаем рисунок (рис. Р 3.84).

На первый взгляд задача кажется "не решаемой", ибо слишком мало данных. В самом деле, для нахождения площади поверхности надо бы знать площади всех граней тетраэдра, но в двух гранях известно всего по 2 элемента, а в оставшихся двух — вообще по одному. (А для площади треугольника необходимо, в общем случае, как мы знаем, три определяющих его элемента.)

Однако дан объем. Зачем? Зачем то он ведь дан! Бывают в геометрии такие задачи, в которых численные данные позволяют уточнить форму данной фигуры. (Например, в планиметрии — треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный.) И здесь будет нечто похожее.

Для начала "перевернем" тетраэдр и будем считать его основанием грань РВС , а высотой — АК (рис. Р 3.85).

Запишем формулу его объема

Сделаем оценки для величины в правой части

( - угол между АВ и плоскостью РВС, если АВ не перпендикулярна этой плоскости).

Но тогда

Итак, объем не превосходит 1 и равен ей только при наибольших значениях площади основания и высоты. То есть, , значит, значит, ребро АВ перпендикулярно плоскости РВС .

После этого вычисление площади поверхности уже не геометрия, а арифметика.

4.26. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб со стороной а и острым углом а. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом р. Найти полную поверхность пирамиды.

Рис. Р 3.86

На рисунке Р 3.86 ABCD — ромб, PQ — высота пирамиды. Надо пояснить, однако, откуда следует, что вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей ромба (пирамида, хотя и похожа на правильную, все же таковой не является!). Получается это так. Нарисуйте сами данную пирамиду, а точку Q в ней — где угодно. В силу равенства двугранных углов при основании окажется, что точка Q равноудалена от всех сторон основания). Но такой точкой в ромбе является только точка пересечения диагоналей(?) или, что все равно — центр вписанной в него окружности. (Этот факт имеет место для произвольной пирамиды, у которой равны углы между плоскостями боковых граней и плоскостью основания — кроме тетраэдра. Подумайте, почему тетраэдр является исключением.)

Дальнейшее просто:

Сложив эти четыре равенства, получим, что площадь боковой поверхности пирамиды S, вычисляется по формуле

А площадь ромба ABCD равна Тогда площадь поверхности пирамиды S равна