ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

С преобразованиями фигур люди имели дело всегда. Уже человек каменного века, изображая на стенах пещерных животных, реально производил преобразование пространственных тел в плоские фигуры. Глядя на тень предмета в солнечный день, мы видим результат параллельного проектирования солнечными лучами этого предмета на поверхность пола или земли. А лучи, идущие от лампы, осуществляют центральное проектирование (рис. 8.20)

Важнейшими из геометрических преобразований являются знакомые вам из планиметрии движения и подобия. Рассмотрим эти преобразования в пространстве.

§ 25. ДВИЖЕНИЯ

25.1. Преобразования фигур.

Доказывая в главе 1, что некоторая фигура F обладает центральной или зеркальной симметрией, мы сопоставляли каждой точке X фигуры F некоторую точку X этой фигуры, симметричную точке X относительно центра или плоскости, т.е. выполняли некоторое преобразование фигуры

Рис. 25.1

Напомним, что вообще преобразование f (или отображение f) фигуры F состоит в том, что каждой ее точке X сопоставляется некоторая точка X (рис. 25.1). Все точки X образуют некоторую фигуру F, о которой говорят, что она получена при преобразовании (отображении) из фигуры

Говорят также, что точка X является образом точки X

при преобразовании и пишут , а о фигуре F говорят, что она является образом фигуры F при преобразовании и пишут

Если при данном преобразовании разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то преобразование называют взаимно однозначным. Например, проектирование пространства на плоскость не является взаимно однозначным преобразованием, так как разные точки пространства могут иметь одну и ту же проекцию. А проектирование плоскости на плоскость в направлении, не параллельном этим плоскостям, является взаимно однозначным преобразованием.

Пусть фигура F получена в результате взаимно однозначного преобразования f из фигуры F. Тогда каждая точка фигуры F является образом только одной (единственной) точки X фигуры F. Действительно, в противном случае преобразование переводило бы в одну и ту же точку X две различные точки фигуры F, что невозможно, поскольку преобразование взаимно однозначное. Поэтому каждой точке X фигуры F можно поставить в соответствие ту единственную точку X фигуры F, образом которой при преобразовании f является точка X. Тем самым мы определим преобразование фигуры F в фигуру F, которое называется обратным для преобразования f и которое обозначается Если преобразование имеет обратное, то оно называется обратимым.

Рис. 25.2

Из данных определений непосредственно следует, что если преобразование f обратимо, то обратное ему преобразование также обратимо и Поэтому преобразования f и называются взаимно обратными.

Пусть преобразование переводит фигуру F в фигуру G, а преобразование g переводит фигуру G в фигуру (рис. 25.2). Если при преобразовании точка X фигуры F перешла в точку фигуры G, а затем точка Y при преобразовании g перешла в точку фигуры Н, то тем самым точка X перешла в точку Z. Это записывают так:

В результате последовательного выполнения получается некоторое преобразование h фигуры F в фигуру Н. Поскольку при преобразовании h образом каждой точки X фигуры F. является точка то пишут и говорят, что h является композицией преобразований f и g. Композицией называется и операция, состоящая в последовательном выполнении преобразований, и само результирующее преобразование.

Рис. 25.3

Если данное преобразование обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему преобразование вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т. е. получим тождественное преобразование такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку. Тождественное преобразование фигуры F обозначаем символом

Неподвижной точкой преобразования называется такая точка X, что