3.5. Расстояние и параллельность.

Вообще, расстояние между двумя фигурами (например, расстояние между двумя островами) — это расстояние между ближайшими точками этих фигур (рис. 3.15). Расстояние между фигурами обозначаем символом

Очевидно, что расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра (рис. 3.16). Все общие перпендикуляры двух параллельных прямых равны друг другу (как противоположные стороны прямоугольника). По той же причине равны друг другу все общие перпендикуляры параллельных плоскостей (рис. 3.17), и длины этих перпендикуляров меньше длины любого наклонного отрезка, соединяющего точки параллельных плоскостей (рис. 3.18). Поэтому и расстояние между параллельными плоскостями равно длине любого их общего перпендикуляра. Эти перпендикуляры заполняют слой между параллельными плоскостями. Иначе говоря, параллельные плоскости проходят на постоянном расстоянии друг от друга или слой между параллельными плоскостями имеет всюду одинаковую толщину. Параллельность плоскостей так и проверяют, измеряя толщину слоя между этими плоскостями.

Так измеряют и высоту призмы, основания которой лежат в параллельных плоскостях. А именно, высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из любой точки основания призмы на плоскость другого ее основания, а также его длина.

И о прямой, параллельной плоскости, можно сказать, что она идет на постоянном расстоянии от плоскости, так как длины всех их общих перпендикуляров равны друг другу (рис. 3.19).

А у скрещивающихся прямых а и b лишь один общий перпендикуляр АВ, длина которого и является расстоянием между а и b (рис. 3.20). Чтобы построить его, надо спроектировать прямую b на плоскость а, проходящую через прямую а и параллельную прямой b (рис. 3.21). Точка пересечения прямой а с проекцией b прямой b и будет точка А. Но вернемся к параллельным прямым и плоскостям.

Параллельные прямые (плоскости) определяются как прямые (плоскости), которые не пересекаются (на всем их бесконечном протяжении). Но реально мы имеем дело с конечными отрезками прямых и конечными кусками плоскостей, хотя бы и не идеальными, но прямыми и плоскими с той или иной точностью. Параллельность противоположных краев пола или доски, двух рельсов и т.п., так же как параллельность пола и потолка, двух противоположных стен или междуэтажных перекрытий, устанавливается не тем, что получается при их бесконечном продолжении. Никакой плотник не продолжает краев доски до бесконечности, как и строители, даже мысленно, не продолжают ни междуэтажных перекрытий, ни стен дома. Словом, на самом деле в теории параллельных прямых и плоскостей важны и имеют реальный смысл те свойства, которые относятся к их конечным отрезкам и кускам. По этим же свойствам производится построение параллельных прямых и плоскостей, а в реальности — их конечных кусков.

Рис. 3.21

Важнейшим среди таких свойств, характеризующих параллельность прямых (плоскостей), является постоянство расстояния, т. е. равноудаленность точек одной прямой (плоскости) от другой. По доказанной теореме все общие перпендикуляры двух параллельных плоскостей равны.

Выполняется также обратное утверждение.

Концы равных перпендикуляров к данной плоскости, расположенные с одной стороны от нее, лежат в одной плоскости, параллельной данной, и заполняют ее. Докажите это самостоятельно.

Реальным воплощением отрезков, о которых идет речь, могут представляться столбы и колонны, стоящие на основании здания и подпирающие параллельное ему перекрытие. На колонны равной высоты опирается верхняя плоскость здания, например греческого храма (рис. 3.22). И в современном строительстве сплошь и рядом укладывают междуэтажные перекрытия на вертикальных

Рис. 3.22

Рис. 3.23

столбах равной высоты. Их верхние концы оказываются в плоскости, параллельной той, где лежат их основания (рис. 3.23).