§ 24. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД

Теперь, когда в §§ 21—23 мы познакомились с основами векторной алгебры, применим ее к решению геометрических задач. Аппарат векторов позволяет кратко записывать формулировки задач, теорем и их решения, доказательства. Например, условие теоремы о средней линии треугольника записывается так: (рис. 24.1), а ее доказательство занимает всего одну строку:

24.1. Векторное задание прямых и плоскостей.

Возьмем какую-нибудь прямую I в пространстве. Ее положение вполне определяется заданием одной из точек А

этой прямой и некоторого ненулевого вектора , коллинеарного прямой I (рис. 24.2). Вектор называется направляющим вектором прямой

Рис. 24.1

Рис. 24.2

Выберем в пространстве любую точку О. Тогда радиус-вектор ОХ любой точки X прямой I равен такой сумме:

Так как то по теореме о коллинеарных векторах (п. 22.3)

где t — некоторое действительное число. Введя обозначение из (1) и (2) получим

Это равенство и задает прямую когда параметр t пробегает все множество действительных чисел, точка X пробегает всю прямую. Точке А соответствует Если же t изменяется на отрезке точка t пробегает отрезок прямой I с концами в точках соответствующих значениям и параметра

Теперь рассмотрим случай плоскости. Зададим некоторую плоскость а любой ее точкой и парой лежащих в а неколлинеарных векторов тип (рис. 24.3); векторы тип называются направляющими векторами плоскости а. Они образуют базис в плоскости а. Любой вектор АХ, где X — произвольная

Рис. 24.3

точка плоскости а, можно разложить по векторам тип:

Поскольку , то подставляя в это равенство выражение (4) и полагая, как и раньше

окончательно получаем

Это уравнение задает плоскость а в пространстве: положение любой точки X плоскости а определится заданием упорядоченной пары действительных чисел причем каждой такой паре соответствует некоторая точка плоскости а в системе координат с началом в точке А и базисными векторами . Точке А соответствует пара