10.3. Определение тела и замкнутой плоской области.
Теперь можно дать точное определение того, что называют в геометрии телом.
Телом называется ограниченная фигура в пространстве, обладающая двумя свойствами:
1) у нее есть внутренние точки и любые две из них можно соединить ломаной (или отрезком) внутри фигуры;
2) фигура содержит свою границу, и ее граница совпадает с границей ее внутренности.
Рис. 10.3
Согласно первому условию, внутренность тела не распадается на отдельные куски. Поэтому фигура, состоящая из объединения двух шаров, не имеющих общих точек, телом не считается. Точно так же не считается телом фигура, состоящая из двух шаров, имеющих лишь одну общую точку, или двух кубов, имеющих лишь одну общую вершину или лишь одно общее ребро (рис. 10.4).
Второе условие означает, во-первых, что граница тела принадлежит ему, так что шар без сферы или даже шар без одной ее точки — уже не тело. Во-вторых, согласно условию 2, граница тела везде прилегает к его внутренности, так что конус со шпилем — отрезком — или конус с плоскими "полями", как у шляпы,
Рис. 10.4
Рис. 10.5
телами не считаются (рис. 10.5). Отметим также, что тело является ограниченной фигурой, так что, например, полупространство телом не является.
Граница тела называется его поверхностью.
Проверьте, применив определение тела, что шар, пирамида, призма, цилиндр вращения и конус вращения являются телами.
Аналогом понятия тела в планиметрии является понятие замкнутой области.
Замкнутой областью называется фигура на плоскости, обладающая двумя свойствами:
1) у нее есть внутренние точки и любые две из них можно соединить ломаной (или отрезком) внутри фигуры;
2) фигура содержит свою границу, и ее граница совпадает с границей ее внутренности.
Разница в определении тела лишь в том, что там граница и внутренность понимаются относительно пространства, а здесь — относительно плоскости.
Теперь мы можем дать ответ на такой вопрос: когда цилиндр или конус являются телом? Ответ таков: цилиндр и конус являются телами тогда и только тогда, когда их основаниями являются замкнутые области. Обдумайте эти утверждения и попробуйте их доказать.
Для цилиндра и конуса, являющихся телами, можно определить понятия их боковых поверхностей. Их боковые поверхности состоят из образующих, концы которых лежат на границе их оснований. Вся же поверхность слагается из их боковой поверхности и оснований.
