6.4. Эллипс как сечение цилиндра вращения.

Если боковую поверхность цилиндра пересечь плоскостью так, чтобы эта плоскость не пересекала его оснований, то

в сечении получится эллипс (рис. 6.14). Это следует из определения эллипса как параллельной проекции окружности на плоскость. (Поэтому, наклонив стакан с водой, вы наблюдаете эллипс).

Рассматривая эллипс как сечение цилиндра вращения, докажем важное метрическое свойство эллипса, (метрическими называются свойства, которые выражаются через расстояния), которое дает еще один подход к определению эллипса (а также позволяет его построить, точнее, начертить).

Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Рис. 6.15

Пусть эллипс Е получен как сечение боковой поверхности цилиндра вращения С плоскостью а (рис. 6.15). Впишем в цилиндр С два шара и касающиеся как цилиндра, так и плоскости а (цилиндр можно взять достаточно высоким, чтобы шары и не пересекали его оснований). Точки касания шаров и с плоскостью а обозначим и назовем фокусами эллипса. Окружности, по которым и касаются цилиндра С, обозначим через Ясно, что — большие окружности шаров и , а плоскости, в которых лежат S и перпендикулярны оси цилиндра С. Поэтому все отрезки образующих цилиндра с концами в точках окружностей и равны друг другу. Обозначим их длину через 2а. Возьмем любую точку . Проведем через точку X образующую

цилиндра С. Она пересечет в точках Так как отрезки , касаются шара в точках F, и и имеют общий конец X, то Аналогично Поэтому

Из произведенных построений ясно, что прямая будет осью симметрии эллипса (рис. 6.16). Отрезок этой прямой с концами на эллипсе является большим диаметром эллипса, и длина его равна 2а (так как ). Точка О — середина отрезков — будет центром симметрии эллипса. Проходящий через точку О отрезок перпендикулярный , с концами на эллипсе будет малым диаметром эллипса. Его длина 2b равна диаметру шаров и (диаметру основания цилиндра С). Так как , то . Если длину отрезка обозначить через , то и из прямоугольного треугольника получаем, что

Эти соотношения и зависимости между элементами эллипса позволяют нам теперь показать, что множество точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (и большая, чем расстояние между фокусами), является эллипсом.

Рис. 6.16

Действительно, пусть на плоскости а даны две точки и задано некоторое расстояние По этим данным находим из равенства (1)

радиус шаров и строим эти шары, касающиеся плоскости а в точках по разные стороны от а. Цилиндр С, касающийся шаров (его образующие параллельны прямой, проходящей через центры ), пересекает плоскость а по искомому эллипсу, для которого точки фокусы и 2а — сумма расстояний от точек эллипса до фокусов. (Для окружности )

Опираясь на доказанное свойство, легко нарисовать эллипс. Для этого надо (булавками или кнопками) закрепить нить в двух точках (фокусах эллипса), а затем, натянув ее карандашом, начертить эллипс (рис. 6.17).

Рис. 6.17