11.3. Теорема Эйлера.

Рассмотрим любой выпуклый многогранник Р. Пусть — число его вершин, — число его ребер, число его граней.

Леонардом Эйлером была доказана удивительная теорема.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника

Проверьте это равенство на примерах -угольной пирамиды, -угольной призмы или -угольной усеченной пирамиды.

В этих примерах выпуклость многогранников не предполагается. И действительно, теорема Эйлера справедлива не только для выпуклых многогранников, но и для таких многогранников, которые могут быть получены из выпуклых с помощью непрерывной деформации "без

Рис. 11.13

Рис. 11.14

разрывов и склеиваний" (мы не даем точных определений таким деформациям, но интуитивно ясно, о каких деформациях идет речь). При этом ясно, что поскольку в теореме Эйлера речь идет лишь об элементах поверхности многогранника, то в ее условии, говоря "многогранник", можно иметь в виду многогранную поверхность, а не многогранное тело, и эта теорема относится именно к поверхностям, а не к телам. Более того, в формуле Эйлера величина определяется лишь сетью вершин и ребер на поверхности выпуклого многогранника. Эта величина не изменится, если мы деформируем рассматриваемую многогранную поверхность, например, в сферу, а сеть вершин и ребер многогранника — в некоторую сеть точек и кривых на сфере. Тогда можно считать числом вершин такой сети, к — числом ее "ребер", a f — числом областей, на которые сеть разбивает сферу: эти области на сфере получаются в результате деформации из граней многогранника. Хорошее представление о такой сети дает, например, покрышка футбольного мяча (рис. 11.13).

Итак, в формуле Эйлера речь идет о таких свойствах фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях фигур "без разрывов и склеиваний". Эти свойства называются топологическими, а раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, — топологией. (До XX в. топология была частью геометрии, но теперь она сформировалась в большую самостоятельную область математики.)

Возможностью таких деформаций, не изменяющих числа , мы и воспользуемся при доказательстве теоремы Эйлера. Поступим так. Пусть Р — выпуклый многогранник, — числа его вершин, ребер и граней. Удалим из Р любую его грань Q, оставив ее стороны и вершины (рис. 11.14). Оставшуюся многогранную поверхность обозначим через Р. Число вершин одно и то же — е. Точно так же одно и то же число ребер — k. А число f граней у Р на единицу меньше, чем у Р. т. е. Поэтому равенство Эйлера равносильно равенству

А это равенство мы докажем с помощью следующей леммы.

Лемма. Пусть простой многоугольник Q разбит некоторой сетью, состоящей из точек (вершин сети) и соединяющих их отрезков (ребер сети), на f простых многоугольников Ту. Если в — число вершин в этой сети, а к — число ее ребер (считая вершины и стороны самого многоугольника Q), то

Рис. 11.15

Среди простых многоугольников, на которые разбит многоугольник Q, всегда найдется такой многоугольник , что, удалив из Q, мы снова получим один простой многоугольник (рис. 11.15). (Попробуйте точно обосновать существование такого многоугольника . Вообще говоря, не каждый из многоугольников разбиения, выходящих на границу многоугольника Q, обладает таким свойством. Например, им не обладает многоугольник ).

Удалив многоугольник из Q, мы удалим все его внутренние точки и только те его вершины (и ребра), которые не являются вершинами (и ребрами) других многоугольников, входящих в разбиение Q. Поэтому если, удаляя многоугольник , мы удалим часть границы многоугольника Q, которая является ломаной, состоящей из ребер, то мы при этом удалим вершину. Итак, для разбиения многоугольника число его вершин , число его ребер а число многоугольников Следовательно,

Таким образом, число не изменяется при описанном удалении многоугольника . Продолжив такие операции раз, мы придем к одному простому многоугольнику, для которого число его вершин равно числу его ребер Поскольку, очевидно, то равенство е — к справедливо.

Теперь, чтобы завершить доказательство теоремы Эйлера, достаточно "растянуть" многогранную поверхность Р вместе с сетью ее вершин и ребер на плоскость в плоский многоугольник и воспользоваться доказанной леммой. То, что это можно сделать, интуитивно ясно, и можно было бы на этом закончить доказательство. Для тех же, кто хочет подкрепить это интуитивное убеждение некоторым рассуждением, укажем один из способов такого "растяжения".

Возьмем внутри грани Q любую точку О. Любой луч, идущий из О в точку , пересекает Р лишь в точке X. Ясно, что это свойство сохранится, если точку О чуть сместить до положения О вне многогранника Р (рис. 11.16). (Попробуйте точно указать, где может находиться такая точка О.) Спроектируем теперь вершины, ребра и грани многогранника Р из Она грань Q. Получим в Q сеть, разбивающую грань Q на выпуклых

многоугольников . В этой сети столько же вершин и ребер (считая вершины и ребра многоугольника Q), сколько вершин и ребер у многогранника Р. Каждый из многоугольников соответствующий некоторой грани Q многогранника Р, можно получить так: взять пирамиду с вершиной О и основанием Q) и пересечь ее многоугольником Q. К этому разбиению грани Q на многоугольники и применяется лемма.

Рис. 11.16

Замечание. Одним из главных моментов проведенного доказательства является возможность "распрямить и положить на плоскость" поверхность многогранника после того, как у него удалена одна грань, которая является простым многоугольником. Этого нельзя сделать, например, для многогранника, изображенного на рисунке 11.17. Для него уже

Рис. 11.17

Но для многогранников любого строения и вообще для тел выполняется обобщенная теорема Эйлера. Для всех сетей, которые могут быть "нарисованы" на поверхности данного тела или любого получаемого из него деформацией без разрывов и склеиваний, число одно и то же при условии, что каждую "грань" (область) можно деформировать в простой многоугольник (с тем же числом сторон).

Л. Эйлер (1707—1783) — великий математик, физик и астроном; швейцарец по рождению, он был членом Петербургской академии наук и работал в России в 1727 —1741 и в 1766-1783 г.г,