26.4. Неподвижные точки движений.

Оказывается, что движение либо не имеет неподвижных точек (например, перенос), либо имеет лишь одну неподвижную точку (например, центральная симметрия), либо имеет множеством своих неподвижных точек прямую (поворот), либо таким множеством является плоскость (зеркальная симметрия), либо, наконец, множеством его неподвижных точек является все пространство (тождественное движение).

Справедливость такой классификации вытекает из двух простых лемм.

Лемма (о неподвижной прямой). Если две точки А и В являются неподвижными точками движения f, то любая точка X прямой АВ также является неподвижной точкой движения

Действительно, точка , во-первых, лежит на прямой АВ, и во-вторых, она удалена от точек А и В на расстояния . Поэтому .

Лемма (о неподвижной плоскости). Если три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, являются неподвижными точками движения f, то любая точка

Рис. 26.7

Рис. 26.8

X плоскости ЛВС является неподвижной точкой движения

Действительно, все точки прямых АВ, АС, ВС неподвижны для движения (по предыдущей лемме). Проведем через точку X любую прямую I , пересекающую в точках Y и Z прямые АВ и АС (рис. 26.7). Поскольку Y и Z — неподвижные точки движения то и все точки прямой I (в том числе и точка X) — неподвижные для

Полученная классификация множества неподвижных точек движений позволяет дать следующие признаки зеркальной симметрии и повороту.

Теорема (признак зеркальной симметрии). Если множеством неподвижных точек движения является плоскость, то это движение есть симметрия относительно этой плоскости.

Пусть множеством неподвижных точек движения f является плоскость а. Возьмем любую точку X вне этой плоскости и опустим из нее перпендикуляр ХА на эту плоскость (рис. 26.8). Так как движения сохраняют перпендикулярность и точка А — неподвижная точка движения , то переведет прямую ХА в эту же прямую. Точка лежит на прямой ХА и удалена от точки А на расстояние ХА. Поэтому либо , либо X — точка, симметричная точке X относительно а. В первом случае f имело бы неподвижные точки, не

лежащие в одной плоскости, что противоречит условию теоремы. Поэтому , т. е. .

Доказывая эту теорему, мы установили и такое предложение: если движение имеет неподвижную плоскость, то оно или тождественное, или симметрия относительно этой плоскости.

Теорема (признак поворота). Движение, множеством неподвижных точек которого является прямая, есть поворот вокруг этой прямой.

Пусть движение f имеет прямую l множеством своих неподвижных точек. Возьмем любую полуплоскость а, имеющую границей прямую l и пусть полуплоскость (рис. 26.9). Границей также является прямая l . Пусть — угол между . Возьмем любую плоскость и пусть А — точка пересечения l и у. Так как А — неподвижная точка движения f и f сохраняет перпендикулярность прямой и плоскости, то плоскостью будет плоскость, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой l, т. е. плоскость у.

Рис. 26.9

Итак, движение осуществляет в каждой плоскости, перпендикулярной прямой l, поворот на угол .