24.6. Центры масс и выпуклые многогранники.

Рассмотрим теперь переменные массы суммарно равные единице, т. е.,

которые помещены в фиксированные точки Выясним, где может находиться центр масс Р такой системы.

Если то, положив получаем из (36), что и приходим к формуле (11):

где Это означает, что когда возрастает от 0 до 1, центр масс Р пробегает весь отрезок от до

Для рассмотрим систему из трех материальных точек в вершинах треугольника с условием

Пусть точка Р — центр масс этой системы, а — ее радиус-вектор.

Согласно свойству центра масс точку Р можно найти так. Сначала найти центр масс Q пары материальных точек (рис. 24.10). Ее радиус-вектор

и, поскольку то точка Q лежит на отрезке . А точка Р будет центром масс двухточечной системы и лежит на отрезке

Итак, каждой тройке неотрицательных чисел сумма которых равна единице, соответствует точка треугольника — центр масс системы материальных точек . Верно и обратное утверждение: для любой точки Р, принадлежащей треугольнику можно подобрать такие числа сумма которых равна единице, что точка Р будет центром масс системы материальных точек . Убедимся в этом.

Рис. 24.10

Выберем точку Р в треугольнике (рис. 24.10) и проведем через нее отрезок имеющий конец Q на стороне Положим

При таком выборе масс центром масс является точка Р (проверьте!).

Взаимно однозначное соответствие между точками треугольника и тройками неотрицательных чисел сумма которых равна единице, позволяет назвать эти тройки барицентрическими координатами точки Р треугольника которая определяется радиус-вектором ОР по формуле:

Рис. 24.11

Сделаем еще один шаг и рассмотрим случай т.е., систему из четырех материальных точек Как мы уже убедились, центр масс Р этой системы лежит на отрезке идущем из точки в центр масс Q первых трех точек этой системы (рис. 24.11). Если точки не лежат в одной плоскости, то все такие отрезки заполнят тетраэдр который также является множеством всевозможных центров переменных масс помещенных в вершинах тетраэдра. Наборы называются барицентрическими

координатами соответствующих им точек тетраэдра если

Вы, наверное, уже заметили сходство построений этого и предыдущего пунктов с теми, которые были проведены в п. 11.4 и касались построения выпуклой оболочки конечного числа точек. Это не случайно. Имеет место следующая теорема, которая связывает понятия выпуклой оболочки и центра масс.

Теорема (о множестве центров масс). Выпуклая оболочка конечного числа точек есть множество центров масс, получающихся при расположении в этих точках всевозможных масс.

Рассмотрим систему материальных точек считая точки фиксированными, а массы переменными. Выпуклую оболочку точек обозначим через F, а множество всевозможных центров масс, помещенных в этих точках, обозначим через G. Чтобы доказать теорему, следует установить, во-первых, что G содержится в F, и, во-вторых, что содержится в G. Из этого будет следовать, что F и G совпадают.

Докажем первое утверждение. Пусть точка Р есть центр масс расположенных в точках По свойству центра масс точку Р можно получить так. Сначала находим центр масс лежащий в точках если эти массы ненулевые. (Если же массы в точках нулевые, мы их просто не рассматриваем). Далее, помещая в массу находим центр масс этой массы и массы лежащей в точке Точка будет центром масс материальных точек Продолжая это построение, мы придем к центру масс Р всей рассматриваемой системы материальных точек. Вместе с тем точка лежит

на отрезке и, значит, принадлежит выпуклой оболочке точек Точка лежит на отрезке и, так как принадлежат выпуклой оболочке точек то точка тоже ей принадлежит. Повторяя это рассуждение, мы дойдем, наконец, до точки Р и убедимся, что точка Р лежит в выпуклой оболочке точек Итак, множество точек G содержится в выпуклой оболочке

Докажем теперь, что F содержится в G. Если взять в какой-либо точке массу , а во всех остальных точках нулевые массы, то центром такой системы масс будет точка Следовательно, все точки содержатся в множестве G. Докажем теперь, что множество G выпукло. Возьмем любые две его точки А и В. Пусть точка А есть центр масс в точках Если эти массы заменить массами где то центром этой системы масс будет та же самая точка А. Для масс выполняется равенство

Аналогично, для точки В можно выбрать такой набор масс помещенных в точки для которого она будет центром масс и для которого выполняется равенство

Радиус-векторы этих точек А и В определяются равенствами

Поместим теперь в точках массы

где Тогда

Центр масс P системы материальных точек определится радиус-вектором

Учитывая равенства из (45) получим, что

Когда t меняется от 0 до 1, конец радиус-вектора — точка Р — пробегает отрезок АВ от точки А до точки В. Значит весь этот отрезок состоит из центров масс, т.е. если точки А, В содержатся в множестве G, то и отрезок АВ содержится в G. Следовательно, множество G — выпукло и содержит все точки Поэтому G содержит и множество F — выпуклую оболочку точек Итак, G и F совпадают.

Как установлено в п. 11.4, выпуклая оболочка конечного числа точек является многогранником, вершины которого лежат разве лишь в этих точках. Тем самым и множество центров переменных масс, помещенных в точки является выпуклым многогранником, вершины которого лежат разве лишь в точках