Главная > Стереометрия. Геометрия в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

24.6. Центры масс и выпуклые многогранники.

Рассмотрим теперь переменные массы суммарно равные единице, т. е.,

которые помещены в фиксированные точки Выясним, где может находиться центр масс Р такой системы.

Если то, положив получаем из (36), что и приходим к формуле (11):

где Это означает, что когда возрастает от 0 до 1, центр масс Р пробегает весь отрезок от до

Для рассмотрим систему из трех материальных точек в вершинах треугольника с условием

Пусть точка Р — центр масс этой системы, а — ее радиус-вектор.

Согласно свойству центра масс точку Р можно найти так. Сначала найти центр масс Q пары материальных точек (рис. 24.10). Ее радиус-вектор

и, поскольку то точка Q лежит на отрезке . А точка Р будет центром масс двухточечной системы и лежит на отрезке

Итак, каждой тройке неотрицательных чисел сумма которых равна единице, соответствует точка треугольника центр масс системы материальных точек . Верно и обратное утверждение: для любой точки Р, принадлежащей треугольнику можно подобрать такие числа сумма которых равна единице, что точка Р будет центром масс системы материальных точек . Убедимся в этом.

Рис. 24.10

Выберем точку Р в треугольнике (рис. 24.10) и проведем через нее отрезок имеющий конец Q на стороне Положим

При таком выборе масс центром масс является точка Р (проверьте!).

Взаимно однозначное соответствие между точками треугольника и тройками неотрицательных чисел сумма которых равна единице, позволяет назвать эти тройки барицентрическими координатами точки Р треугольника которая определяется радиус-вектором ОР по формуле:

Рис. 24.11

Сделаем еще один шаг и рассмотрим случай т.е., систему из четырех материальных точек Как мы уже убедились, центр масс Р этой системы лежит на отрезке идущем из точки в центр масс Q первых трех точек этой системы (рис. 24.11). Если точки не лежат в одной плоскости, то все такие отрезки заполнят тетраэдр который также является множеством всевозможных центров переменных масс помещенных в вершинах тетраэдра. Наборы называются барицентрическими

координатами соответствующих им точек тетраэдра если

Вы, наверное, уже заметили сходство построений этого и предыдущего пунктов с теми, которые были проведены в п. 11.4 и касались построения выпуклой оболочки конечного числа точек. Это не случайно. Имеет место следующая теорема, которая связывает понятия выпуклой оболочки и центра масс.

Теорема (о множестве центров масс). Выпуклая оболочка конечного числа точек есть множество центров масс, получающихся при расположении в этих точках всевозможных масс.

Рассмотрим систему материальных точек считая точки фиксированными, а массы переменными. Выпуклую оболочку точек обозначим через F, а множество всевозможных центров масс, помещенных в этих точках, обозначим через G. Чтобы доказать теорему, следует установить, во-первых, что G содержится в F, и, во-вторых, что содержится в G. Из этого будет следовать, что F и G совпадают.

Докажем первое утверждение. Пусть точка Р есть центр масс расположенных в точках По свойству центра масс точку Р можно получить так. Сначала находим центр масс лежащий в точках если эти массы ненулевые. (Если же массы в точках нулевые, мы их просто не рассматриваем). Далее, помещая в массу находим центр масс этой массы и массы лежащей в точке Точка будет центром масс материальных точек Продолжая это построение, мы придем к центру масс Р всей рассматриваемой системы материальных точек. Вместе с тем точка лежит

на отрезке и, значит, принадлежит выпуклой оболочке точек Точка лежит на отрезке и, так как принадлежат выпуклой оболочке точек то точка тоже ей принадлежит. Повторяя это рассуждение, мы дойдем, наконец, до точки Р и убедимся, что точка Р лежит в выпуклой оболочке точек Итак, множество точек G содержится в выпуклой оболочке

Докажем теперь, что F содержится в G. Если взять в какой-либо точке массу , а во всех остальных точках нулевые массы, то центром такой системы масс будет точка Следовательно, все точки содержатся в множестве G. Докажем теперь, что множество G выпукло. Возьмем любые две его точки А и В. Пусть точка А есть центр масс в точках Если эти массы заменить массами где то центром этой системы масс будет та же самая точка А. Для масс выполняется равенство

Аналогично, для точки В можно выбрать такой набор масс помещенных в точки для которого она будет центром масс и для которого выполняется равенство

Радиус-векторы этих точек А и В определяются равенствами

Поместим теперь в точках массы

где Тогда

Центр масс P системы материальных точек определится радиус-вектором

Учитывая равенства из (45) получим, что

Когда t меняется от 0 до 1, конец радиус-вектора — точка Р — пробегает отрезок АВ от точки А до точки В. Значит весь этот отрезок состоит из центров масс, т.е. если точки А, В содержатся в множестве G, то и отрезок АВ содержится в G. Следовательно, множество G — выпукло и содержит все точки Поэтому G содержит и множество F — выпуклую оболочку точек Итак, G и F совпадают.

Как установлено в п. 11.4, выпуклая оболочка конечного числа точек является многогранником, вершины которого лежат разве лишь в этих точках. Тем самым и множество центров переменных масс, помещенных в точки является выпуклым многогранником, вершины которого лежат разве лишь в точках

1
Оглавление
email@scask.ru