4.2. Взаимное положение шара и плоскости.
Сначала вспомним, как могут быть расположены по отношению друг к другу круг и прямая (рис. 4.3). Три положения круга и прямой характеризуются расстоянием от центра круга до прямой, т.е. длиной перпендикуляра ОА, опущенного из центра О круга на данную прямую.
Точно так же в пространстве для шара и плоскости возможны три случая.
1) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса шара, то шар и плоскость не имеют общих точек (рис. 4.4).
2) Касание шара и плоскости. Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей
Рис. 4.4
Рис. 4.5
Рис. 4.6
Рис. 4.7
его сферой только одну общую точку. Этой точкой является точка А — основание перпендикуляра ОА, опущенного из центра О шара на данную плоскость а. Все остальные точки плоскости а удалены от точки О больше, чем на радиус R и шару не принадлежат (рис. 4.5). В случае, когда шар, а также и ограничивающая его сфера, имеют с плоскостью единственную общую точку, говорят, что плоскость касается шара и ограничивающей его сферы, а их общая точка называется точкой касания. Плоскость, касающаяся сферы, называется касательной плоскостью этой сферы.
Выводы, сделанные в рассматриваемом случае, можно выразить как следующий признак касания сферы и плоскости: если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.
3) Пересечение шара и плоскости. Если расстояние d от центра шара до плоскости меньше радиуса R шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собою круг. Центр А этого круга является проекцией центра шара О на данную плоскость. Пересечение плоскости со сферой является окружностью указанного круга (рис. 4.6). Ее радиус Г вычисляется по формуле
Рис. 4.8
Рис. 4.9
Действительно, построим на плоскости а, удаленной от точки О на расстояние 
круг D с центром в точке А и радиусом 
, вычисленным по формуле (1). Точка X принадлежит кругу D тогда и только тогда, когда 
(рис. 4.7), а это в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда точка X лежит в плоскости а и для ее расстояния до точки О выполняется неравенство
т. е. эта точка X принадлежит рассматриваемому шару. Итак, сечением данного шара плоскостью — в случае, когда 
является круг D, а сечением сферы — окружность этого круга.
Радиус 
будет наибольшим, когда 
, т.е. когда плоскость а проходит через центр шара. Тогда 
. В этом случае окружность по которой сфера пересекается с плоскостью, проходящей через центр сферы, называется большой окружностью сферы.
Каждые две большие окружности одной сферы пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис. 4.8).
Действительно, прямая, по которой пересекаются плоскости этих окружностей, проходит через центр сферы. А общие точки этих окружностей лежат на этой прямой, и потому — диаметрально противоположны.
А через две не диаметрально противоположные точки сферы проходит единственная большая окружность: она получается при пересечении сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы и две данные точки (рис. 4.9).
Дуги больших окружностей на сфере (меньшие полуокружности) аналогичны отрезкам на плоскости в том смысле, что они являются кратчайшими по длине среди всех линий на сфере, соединяющих их концы. В частности, дуга большой окружности короче дуги параллели (отличной от экватора) между теми же точками на земной поверхности (рис. 4.10). Поэтому при дальних полетах и дальних плаваниях, если возможно, летят и плывут не по постоянной широте, а в северном полушарии забирают на север — по дуге большой окружности. Например, кратчайший полет из Москвы в Хабаровск проходит над далеким севером Сибири.
Рис. 4.10
Теперь мы легко можем доказать утверждение, обратное признаку касания сферы и плоскости: если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Действительно, если бы это было не так, то данная плоскость была бы удалена от центра сферы меньше, чем на радиус, а потому пересекала бы сферу по окружности, а не касалась бы ее.
Объединив признак касания и обратное ему утверждение, приходим к такой теореме:
Теорема 1 (о касании сферы и плоскости). Плоскость и сфера касаются в некоторой точке тогда и только тогда, когда плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
