27.2. Движения первого рода как винтовые движения.

В этом пункте мы докажем, что любое движение пространства первого рода есть винтовое движение.

Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. (О таком переносе говорят, что он происходит вдоль оси поворота).

Представление о винтовом движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт. Отсюда его название.

Поворот и перенос можно считать частными случаями винтового движения: винтовое движение с нулевым

переносом — это поворот, а винтовое движение с нулевым поворотом — это перенос.

Порядок, в котором происходят перенос и поворот в винтовом движении не имеет значения — результат от этого не зависит (убедитесь в этом!).

Доказательство основного результата этого пункта опирается на следующую лемму.

Лемма (о композиции переноса и поворота). Композиция переноса и нетождественного поворота вокруг прямой, перпендикулярной направлению переноса, есть поворот вокруг некоторой прямой, параллельной оси данного поворота.

Рис. 27.1

Пусть f — поворот вокруг прямой перенос на вектор Возьмем любую плоскость (рис. 27.1). Пусть О — точка пересечения а и . Построим в плоскости а равнобедренный треугольник с вершиной О и таким основанием , что и с углом при вершине, равным углу поворота f. Такой треугольник можно построить единственным образом. Поворот f переводит А в А, т.е. . Точка А является неподвижной точкой движения так как Более того, любая точка прямой Г, которая параллельна и проходит через точку О, является неподвижной для движения и других неподвижных точек нет. По признаку поворота — поворот вокруг прямой V .

Теорема (о винтовом движении). Любое движение пространства первого рода есть винтовое движение, которое, в частности, может быть переносом или поворотом вокруг прямой.

Пусть f — движение пространства первого рода. Возьмем любую точку А и пусть . Если — перенос на вектор то движение имеет точку А своей неподвижной точкой, так как . Поэтому есть поворот g вокруг некоторой прямой проходящей через А:

Пусть — перенос на вектор , т. е. перенос, обратный к . Тогда из равенства (1) получаем

Поскольку , то из (2) следует, что

Разложим вектор на составляющие векторы b и С, из которых первый параллелен прямой а второй перпендикулярен ей. Тогда

(см. (7) п. 25.4). Поэтому из (3) вытекает, что

Но по лемме движение — это поворот h вокруг некоторой прямой параллельной прямой Поэтому . Так как вектор , то f есть винтовое движение — композиция переноса на вектор b и поворота h вокруг прямой

Итак, никаких других движений первого рода, кроме винтовых, нет. Одним из примеров реализации этой теоремы может служить работа башенного крана со стрелой переменной длины: он может переместить груз из любого места строительной площадки в любое другое ее место.