Главная > Стереометрия. Геометрия в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

26.2. Общие свойства движений.

Движения сохраняют расстояния и потому сохраняют все геометрические свойства фигур, поскольку они определяются расстояниями. В этом пункте мы получим наиболее общие свойства движений, приводя доказательства в тех случаях, когда они не очевидны.

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, — в три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит соответственно точки в точки Тогда выполняются равенства

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из них, например, точка В лежит между двумя другими. В этом случае и из равенств (1) следует, что . А это равенство означает, что точка В лежит между точками А и С. Первое утверждение доказано. Второе вытекает из первого и обратимости движения (способом от противного).

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Пусть концам отрезка АВ движение f сопоставляет точки А и В. Возьмем любую точку X отрезка АВ. Тогда, как и в доказательстве свойства 1, можно установить, что ее образ — точка лежит на отрезке АВ между точками А и В. Далее, каждая точка

Y отрезка А В является образом некоторой точки Y отрезка АВ. А именно, той точки Y, которая удалена от точки А на расстояние A Y. Следовательно, отрезок АВ движением переводится в отрезок АВ.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая — в прямую.

Эти утверждения докажите самостоятельно. Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник, полуплоскость — в полуплоскость, плоскость — в плоскость, параллельные плоскости — в параллельные плоскости.

Треугольник ABC заполняется отрезками, соединяющими вершину А с точками X противоположной стороны ВС (рис. 26.1). Движение сопоставит отрезку ВС некоторый отрезок В С и точке А — точку А, не лежащую на прямой ВС. Каждому отрезку АХ это движение сопоставит отрезок АХ, где точка X лежит на ВС. Все эти отрезки АХ заполнят треугольник АВС.

Рис. 26.1

Рис. 26.2

Рис. 26.3

В него и переходит треугольник

Полуплоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников, у которых одна сторона лежит на границе полуплоскости

(рис. 26.2). Поэтому полуплоскость перейдет при движении в полуплоскость.

Аналогично, плоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников (рис. 26.3). Поэтому при движении плоскость отображается на плоскость.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то при движении расстояния между фигурами не изменяются. Отсюда следует, в частности, что при движениях параллельные плоскости перейдут в параллельные.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом полупространства — полупространство, образом пространства — все пространство.

Тетраэдр ABCD представляет собой объединение отрезков, соединяющих точку D со всевозможными точками X треугольника ABC (рис. 26.4). При движении отрезки отображаются на отрезки, а потому тетраэдр перейдет в тетраэдр.

Рис. 26.4

Полупространство можно представить как объединение расширяющихся тетраэдров, у которых основания лежат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при движении образом полупространства будет полупространство.

Пространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров. Поэтому при движении пространство отображается на все пространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

При движении полуплоскость отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пересечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол и двугранный угол есть объединение полуплоскостей, то при движении выпуклый угол переходит в выпуклый угол, а невыпуклый

угол и двугранный угол соответственно — в невыпуклый и двугранный угол.

Пусть лучи а и b, исходящие из точки О, отобразились на лучи а и b, исходящие из точки О. Возьмем треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b (рис. 26.5). Он отобразится на равный треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b. Значит, углы между лучами а, b и а, b равны. Поэтому при движении величины углов сохраняются.

Рис. 26.5

Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых, а значит — прямой и плоскости. Вспомнив определения угла между прямой и плоскостью и величины двугранного угла, получим, что величины этих углов сохраняются.

Свойство 7. Движения сохраняют площади поверхностей и объемы тел.

Действительно, поскольку движение сохраняет перпендикулярность, то движение высоты (треугольников, тетраэдров, призм и т. п.) переводит в высоты (образы этих треугольников, тетраэдров, призм и т. п.). При этом длины этих высот будут сохраняться. Поэтому площади треугольников и объемы тетраэдров при движениях сохраняются. А значит, сохранятся и площади многоугольников, и объемы многогранников. Площади же криволинейных поверхностей и объемы тел, ограниченных такими поверхностями, получаются предельными переходами от площадей многогранных поверхностей и объемов многогранных тел. Поэтому и они при движениях сохраняются.

1
Оглавление
email@scask.ru