22.3. Умножение вектора на число.
Эта операция определяется в стереометрии так же, как и в планимерии. Напомним ее определение.
Произведением вектора 
и числа 
называется такой вектор 
для которого выполнены два условия:
1) его длина равна произведению длины вектора а и модуля числа X, т. е.
2) он сонаправлен с вектором а, если 
и направлен противоположно вектору а, если 
(рис. 22.19).
Рис. 22.19
Если же 
или 
то вектор 
нулевой (что согласуется с (8)).
Из этого определения непосредственно вытекают такие следствия:
1. 
для любого вектора а.
2. 
для любого вектора а.
3. Если 
, то либо 
, либо 
4. Если 
, то 
5. Если 
, то 
Докажем, например, свойство 5. Из равенства 
по формуле (8) получаем, что 
Так как 
, то 
Кроме того, числа x и у имеют один знак, так как в противном случае векторы 
были бы направлены противоположно. Поэтому 
Часто используется следующий простой, но важный признак коллинеарности векторов:
Теорема (о коллинеарных векторах). Вектор b коллинеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда, когда 
1) Если 
то векторы 
коллинеарны (по определению произведения вектора на число).
2) Докажем обратное утверждение: если 
то найдется такое число x, что 
. Если 
, то 
Если же 
, то возможны два случая.
а) 
. Тогда, чтобы из а получить b, надо умножить а на число 
.
б) 
. Тогда b получается из а умножением на число 
, т. е. 
.
Оба эти утверждения непосредственно вытекают из определения произведения вектора на число. Проверьте это самостоятельно.
Следствие (о векторах на прямой). Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число.
Наконец, отметим, что операции сложения векторов и умножения вектора на число связаны двумя свойствами дистрибутивности (распределительные свойства). А именно, для любых векторов а, b и любых чисел x, у выполняются равенства
и
Оба эти свойства известны из планиметрии и относятся к планиметрии, так как выполняющиеся в них действия производятся с векторами, параллельными одной плоскости. Если же отложить эти векторы от одной точки, то изображающие их направленные отрезки окажутся лежащими в одной плоскости. Более того, равенство (9) касается лишь векторов, коллинеарных одной прямой. Оно непосредственно вытекает из определений сложения векторов и умножения вектора на число. Равенство же (10) может быть иллюстрировано рисунком 22.20.
Рис. 22.20
Рис. 22.21
Равенство (10) означает также, что при умножении вектора на число его составляющие умножаются на это число.
