19.3. Некоторые применения метода координат.
Сначала еще раз рассмотрим задачу о взаимном расположении сферы и плоскости (см. п. 4.2). Можно так выбрать систему координат, что данная плоскость станет координатной плоскостью 
а центр рассматриваемой сферы
то 
и у сферы и плоскости общих точек нет (рис. 19.7).
А теперь рассмотрим более сложную задачу о взаимном расположении двух сфер 
имеющих радиусы 
и центры в точках О и Р соответственно. Через d обозначим длину отрезка ОР, т.е. расстояние между центрами сфер S, и 
Введем систему координат так, чтобы точка О была ее началом, а ось 
шла через точку Р в направлении вектора ОР (рис. 19.8). Тогда сфера S, задается уравнением 
, а сфера 
— уравнением
Будем считать, что 
а также, что 
. Если 
, то сферы 
либо совпадают, либо являются концентрическими.
Фигура, получающаяся в пересечении сфер 
задается системой уравнений
Эта система равносильна системе
Второе уравнение системы (8) имеет вид 
и задает плоскость, перпендикулярную оси z и пересекающую ее в точке 
, где
Рис. 19.9
Рис. 19.10
Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух сфер к уже рассмотренной задаче о взаимном расположении сферы и плоскости. И становится ясно, что две сферы либо пересекаются по окружности (рис. 19.9), либо касаются внешним или внутренним образом, (рис. 19.10), либо не имеют общих точек (рис. 19.8 и рис. 19.11).
Конечно, задачу о взаимном расположении двух сфер можно решить и не применяя метод координат. Но вот пример задачи, которую обычными геометрическими средствами решить не просто.
Что представляет собой пересечение двух бесконечных одинаковых цилиндров вращения, оси которых пересекаются и перпендикулярны (рис. 19.12)?
Рис. 19.11
Рис. 19.12
Введем систему координат так, чтобы оси рассматриваемых цилиндров стали осями x и у. Тогда, как мы показали в п. 19.2, эти цилиндры зададутся уравнениями
. Координаты общих точек цилиндров удовлетворяют обоим этим уравнениям, а значит, и вытекающему из них уравнению 
.
Уравнение 
задает пару плоскостей, пересекающихся по оси z и заданных уравнениями 
(рис. 19.13).
Как было сказано в п. 6.4, сечение цилиндра плоскостью является эллипсом. Поэтому два рассматриваемых цилиндра пересекаются по двум эллипсам, лежащим в плоскостях 
Последняя задача подсказывает, как вырезать заготовку из жести, чтобы сделать, например, "колено" у трубы (рис. 19.14). Дело в том, что при развертке цилиндра его эллиптическое сечение перейдет в 
синусоиду (рис. 19.15)
Рис. 19.13
Рис. 19.14
Рис. 19.15
(рис. 19.6). Тогда плоскость задается уравнением 
, сфера — уравнением
в первое уравнение системы, упрощаем ее и получаем систему
когда 
эта система задает в плоскости 
— 
(рис. 19.6). Если 
, то 
и плоскость 
и сфера имеют единственную общую точку 
, т. е. касаются в этой точке. Если же 
