19.3. Некоторые применения метода координат.

Сначала еще раз рассмотрим задачу о взаимном расположении сферы и плоскости (см. п. 4.2). Можно так выбрать систему координат, что данная плоскость станет координатной плоскостью а центр рассматриваемой сферы

Рис. 19.6

будет расположен на оси z в точке (рис. 19.6). Тогда плоскость задается уравнением , сфера — уравнением

а их пересечение — системой этих уравнений

(поскольку координаты общих точек сферы и плоскости должны удовлетворять их обоим уравнениям). Подставляя в первое уравнение системы, упрощаем ее и получаем систему

Ясно, что при когда эта система задает в плоскости окружность радиуса — (рис. 19.6). Если , то и плоскость и сфера имеют единственную общую точку , т. е. касаются в этой точке. Если же

Рис. 19.7

Рис. 19.8

то и у сферы и плоскости общих точек нет (рис. 19.7).

А теперь рассмотрим более сложную задачу о взаимном расположении двух сфер имеющих радиусы и центры в точках О и Р соответственно. Через d обозначим длину отрезка ОР, т.е. расстояние между центрами сфер S, и Введем систему координат так, чтобы точка О была ее началом, а ось

шла через точку Р в направлении вектора ОР (рис. 19.8). Тогда сфера S, задается уравнением , а сфера — уравнением

Будем считать, что а также, что . Если , то сферы либо совпадают, либо являются концентрическими.

Фигура, получающаяся в пересечении сфер задается системой уравнений

Эта система равносильна системе

Второе уравнение системы (8) имеет вид и задает плоскость, перпендикулярную оси z и пересекающую ее в точке , где

Рис. 19.9

Рис. 19.10

Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух сфер к уже рассмотренной задаче о взаимном расположении сферы и плоскости. И становится ясно, что две сферы либо пересекаются по окружности (рис. 19.9), либо касаются внешним или внутренним образом, (рис. 19.10), либо не имеют общих точек (рис. 19.8 и рис. 19.11).

Конечно, задачу о взаимном расположении двух сфер можно решить и не применяя метод координат. Но вот пример задачи, которую обычными геометрическими средствами решить не просто.

Что представляет собой пересечение двух бесконечных одинаковых цилиндров вращения, оси которых пересекаются и перпендикулярны (рис. 19.12)?

Рис. 19.11

Рис. 19.12

Введем систему координат так, чтобы оси рассматриваемых цилиндров стали осями x и у. Тогда, как мы показали в п. 19.2, эти цилиндры зададутся уравнениями

. Координаты общих точек цилиндров удовлетворяют обоим этим уравнениям, а значит, и вытекающему из них уравнению .

Уравнение задает пару плоскостей, пересекающихся по оси z и заданных уравнениями (рис. 19.13).

Как было сказано в п. 6.4, сечение цилиндра плоскостью является эллипсом. Поэтому два рассматриваемых цилиндра пересекаются по двум эллипсам, лежащим в плоскостях

Последняя задача подсказывает, как вырезать заготовку из жести, чтобы сделать, например, "колено" у трубы (рис. 19.14). Дело в том, что при развертке цилиндра его эллиптическое сечение перейдет в синусоиду (рис. 19.15)

Рис. 19.13

Рис. 19.14

Рис. 19.15