§ 29. ИНВЕРСИЯ
29.1. Определение инверсии.
Содержание этого параграфа в большей своей части относится к планиметрии. То преобразование, которое мы сейчас определим и изучим, чаще всего в элементарной геометрии используется при решении задач на построение. При этом используется то обстоятельство, что инверсия преобразует окружности в прямые и обратно.
Сначала мы считаем, что фиксирована некоторая плоскость и все построения ведем в этой плоскости. В планиметрии инверсия определяется так.
Рис. 29.1
Пусть задана некоторая окружность S с центром О и радиусом 
(рис. 29.1). Каждой точке А, отличной от точки О, поставим в соответствие точку А, на луче ОА такую, что
Это преобразование называется инверсией относительно окружности S и обозначается 
. Точка О называется центром инверсии, радиус 
— радиусом инверсии, а окружность S — окружностью инверсии. В точке О инверсия не определена, т. е. для точки О нет соответствующей ей точки.
Из симметричности точек 
в определении инверсии вытекает такое свойство:
Свойство 1. Если точке А соответствует точка 
при инверсии 
, то точке 
соответствует точка А, т. е. если 
, то 
.
Это же свойство можно сформулировать и так: преобразование, обратное инверсии, совпадает с нею, т.е. инверсия является инволюцией.
Таким образом, 
Свойство 2. При инверсии каждая точка окружности инверсии неподвижна.
Это свойство очевидным образом вытекает из (1).
Рис. 29.2
Рис. 29.3
В остальных случаях пары соответствующих друг другу при инверсии 
точек 
, лежат по разные стороны от окружности 
одна из них лежит внутри S, а другая — вне 
Эти свойства говорят о сходстве инверсии и осевой симметрии на плоскости. Поэтому иногда инверсию называют симметрией относительно окружности.
Как построить соответствующие друг другу при инверсии точки А и 
ясно из рисунка 29.2. Прямые 
и q — касательные к окружности 
.
Чтобы определить инверсию в пространстве, надо заменить окружность S сферой S, а все остальное — просто повторить. И мы придем к определению инверсии относительно сферы S.
