12.3. Полуправильные многогранники.

Полуправильными называют выпуклые многогранники, у которых все грани — правильные многоугольники (но не обязательно равные друг другу) и равны друг другу все многогранные углы при их вершинах.

Этому определению удовлетворяет любая правильная призма, боковые грани которой — квадраты (рис. 12.12). Число таких «-угольных призм бесконечно.

К полуправильным многогранникам относятся и все правильные антипризмы. О построении антипризмы уже говорилось в п. 12.2 при построении икосаэдра. Любая -угольная правильная антипризма строится аналогично.

Рис. 12.12

Рис. 12.13

Сначала берут любой правильный -угольник Через его центр проводят прямую перпендикулярную плоскости в которой лежит (рис. 12.13).

Затем берут точку и через нее проводят плоскость . В плоскости строят правильный -угольник с центром повернутый относительно на угол Затем последовательно соединяют соседние вершины многоугольников и получают треугольников. Можно так выбрать длину отрезка чтобы эти треугольники получились равносторонними. Эти правильных треугольников и правильные многоугольники ограничат полуправильный многогранник который называют -угольной правильной антипризмой (рис. 12.14).

Рис. 12.14

-угольная антипризма самосовмещается преобразованием, которое называют зеркальным поворотом. Этот зеркальный поворот состоит в последовательно выполненном повороте вокруг оси на угол а затем зеркальной симметрии, переводящей друг в друга плоскости а, и Прямая в этом случае называется осью зеркального поворота порядка Заметим, что последовательно вьтолнив два зеркальных поворота на угол получим обычный поворот на угол

Рис. 12.15

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников существует еще лишь 14 видов полуправильных многогранников. 13 из них были известны еще Архимеду и их называют архимедовыми. Четырнадцатый многогранник был найден в 1957 году московским математиком В. Г. Ашкинузе.

Других полуправильных многогранников нет. Доказать это можно, опираясь на теорему Эйлера, по той же схеме, как это было сделано при классификации правильных многогранников в п. 12.2. Но перебор возможностей здесь значительно длиннее. Эти выводы можно найти в IV томе Энциклопедии элементарной математики Физматгиз, 1963). Там же можно познакомиться с правильными звездчатыми многогранниками и их классификацией (рис. 12.15). Как построить многогранник с рисунка 12.15 а, показано на рисунке 12.16.