§ 12. ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

12.1. Правильные фигуры.

Вообще правильность фигуры понимается как равенство ее однородных элементов. Поэтому правильными называют такие многоугольники, у которых соответственно равны друг другу все стороны и все углы (рис. 12.1). Далее, правильным называют такой многогранный угол, у которого все грани равны друг другу, углы и все двугранные углы между гранями также равны (рис. 12.2). Если центр сферы S поместить в вершине правильного многогранного угла V, то сфера пересечет этот угол по правильному сферическому многоугольнику (рис. 12.3). Кроме того, мы знакомы с правильными пирамидами и правильными призмами.

Рис. 12.1

Рис. 12.2

Рис. 12.3

Рис. 12.4

Рис. 12.5

Обратимся к правильным многогранникам.

Поскольку правильность фигуры — это равенство ее однородных элементов, то естественно назвать многогранник правильным, если равны друг другу все его ребра, все углы его граней и все двугранные углы между соседними гранями (рис. 12.4). Равенство всех ребер правильного многогранника ведет к равенству сторон в каждой его грани. Равенство же углов в гранях позволяет сделать вывод о том, что каждая грань правильного многогранника является правильным многоугольником и что все эти грани равны друг другу.

Чаще всего правильный многогранник и определяют как многогранник, у которого все грани — это равные друг другу правильные многоугольники, а также равны друг другу углы между соседними гранями.

Существует всего пять правильных многогранников (рис. 12.5). Построением этих многогранников Евклид заканчивал свои "Начала". Вот последняя фраза этого сочинения: "Итак, кроме упомянутых пяти тел нельзя построить другой телесной фигуры, заключенной между равносторонними и равноугольными фигурами, что и требовалось доказать".

В Древней Греции пяти правильным многогранникам придавали особый мистический смысл, называли их Платоновыми телами. Согласно Платону, атомы четырех основных элементов, из которых строится мир, имеют форму правильных многогранников. Огню соответствует тетраэдр, земле — куб, воздуху — октаэдр, воде — икосаэдр. А вся Вселенная, согласно Платону, имеет вид додекаэдра

Рис. 12.6

Рис. 12.7

Как пошутил значительно позднее один английский ученый: "Евклид вовсе и не собирался выпускать систематический учебник геометрии. Он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось изложить все необходимые сведения".