13.2. Определение объема.

Теперь можно дать определение объема, включив в него те два свойства, о которых говорилось в п. 13.1.

Объемом тела называется положительная величина, определенная для тел так, что: 1) равные тела имеют равные объемы; 2) если тело составлено из конечного числа тел, то его объем равен сумме их объемов.

Говоря, что тело составлено из нескольких тел, мы имеем в виду, что оно является их объединением и любые два данных тела не имеют общих внутренних точек.

Обратите внимание на то, что такими же свойствами характеризуются и площади плоских фигур, и длины отрезков.

Сравнивая свойства объема, площади и длины, видим полное их сходство, хотя это разные величины, так как относятся к разным объектам: длины — к отрезкам, площади — к плоским фигурам, объемы — к телам.

Длины, площади и объемы измеряются в разных единицах. Эти единицы согласуются друг с другом следующим образом. Пусть выбрана единица длины — единичный отрезок, т. е. такой, длина которого считается равной единице. Тогда за единицу измерения площади принимают площадь единичного квадрата, т. е. квадрата, стороной которого служит единичный отрезок. За единицу объема принимается объем единичного куба, т. е. куба, ребром которого служит единичный отрезок.

Так принято в геометрии и в физике. На практике же применяют разные единицы: длину измеряют метрами, миллиметрами, дюймами, футами и т. д., для измерения больших расстояний в астрономии применяют следующие единицы длины: световой год и парсек; площади измеряют квадратными метрами, гектарами, акрами; объемы — кубическими метрами, литрами, галлонами, баррелями, бушелями, и т. д.

Для самих понятий площади и объема выбор единицы не играет роли, и совершенно необязательно, например, считать за единицу объема, скажем, объем единичного куба. Можно было бы принять за единицу объема

объем любого другого многогранника. Только это было бы не так удобно.

Ради простоты мы выберем раз и навсегда единичный отрезок, а вместе с ним единичный квадрат и единичный куб. Тогда под длинами, площадями и объемами будем понимать их численные значения в этих единицах.

В определениях площади и объема не говорится о том, что такие величины в самом деле существуют. Их существование нужно еще доказать. Так, для объема справедлива следующая теорема:

Теорема. При выбранном единичном кубе каждому телу соответствует, и притом единственное, положительное число — численное значение объема при данной единице.

При изменении единицы это число изменяется так: если берется в к раз меньший (больший) единичный отрезок, то численное значение объема увеличивается (уменьшается) в раз.

Аналогичная теорема выполняется для площади, но с коэффициентом изменения .

Доказывать эти теоремы не будем.

Доказательства теорем о существовании и единственности площади и объема можно найти в книгах [5] и [6].