12.2. Классификация правильных многогранников.

Сначала убедимся, что правильные многогранники, изображенные на рисунках 12.5, можно построить, а затем докажем, что других правильных многогранников не существует.

Как строятся правильный тетраэдр и куб можно считать известным.

Правильный октаэдр, т. е. восьмигранник, можно составить из двух правильных четырехугольных пирамид, боковыми гранями которых являются правильные треугольники (рис. 12.6). Если отрезками соединить соседние грани куба, то тоже получим правильный октаэдр (рис. 12.7).

Икосаэдром, что по-гречески значит двадцатигранник, называется правильный многогранник, у которого все грани — правильные треугольники, сходящиеся по пяти в каждой вершине. Он строится так.

Берется многогранник, называемый пятиугольной антипризмой (рис. 12.8). У него два основания — правильные пятиугольники, лежащие в параллельных плоскостях; отрезок, соединяющий их центры, — общий перпендикуляр этих плоскостей; наконец, эти пятиугольники повернуты один относительно другого на угол 36°.

Рис. 12.8

Рис. 12.9

Кроме того, у антипризмы десять боковых граней — треугольников. Можно так выбрать расстояние между плоскостями пятиугольников, что эти треугольники станут правильными. Чтобы достроить антипризму до икосаэдра, на ее основаниях строят две правильные пирамиды, боковые грани которых — правильные треугольники. Икосаэдр составляется из антипризмы и двух таких пирамид (рис. 12.9).

Чтобы построить додекаэдр — двенадцатигранник, грани которого правильные пятиугольники, сходящиеся по три в каждой вершине, — надо отрезками соединить центры соседних граней икосаэдра (рис. 12.10). Эти отрезки и будут ребрами додекаэдра.

Как вы уже, наверное, заметили, центры граней каждого правильного многогранника являются вершинами нового правильного многогранника (рис. 12.11). Такие многогранники называются двойственными. Двойственны друг другу куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, а тетраэдр двойственен сам себе.

Заметим, что сходящиеся в любой вершине правильного многогранника грани определяют правильный многогранный угол, гранями которого являются углы одного из правильных многоугольников. Поскольку сумма таких углов должна быть меньше 360° (теорема п. 11.6), то такое возможно лишь в пяти перечисленных выше случаях. Но уже три угла правильного шестиугольника (как и четыре угла квадрата) равны 360°, а сумма четырех углов правильного пятиугольника больше 360°.

Именно это рассуждение и проводил Евклид в "Началах", доказывая, что других правильных многогранников, кроме тех пяти, которые он уже построил, не существует.

Рис. 12.10

Но этот факт имеет более глубокую природу. Оказывается, что сеть ребер выпуклого многогранника, у которого одинаковое для всех граней число ребер и одинаковое для всех вершин число сходящихся в нем ребер, может быть лишь у одного из пяти уже знакомых нам типов. Такие сети ребер мы будем называть правильными. Например, правильными являются сети ребер любого тетраэдра и любого параллелепипеда.

Применив теперь теорему Эйлера, мы докажем такую теорему.

Рис. 12.11

Теорема (о правильных сетях). Существует пять и только пять типов правильных сетей ребер на выпуклых многогранниках. Эти сети такого же строения, как сети ребер правильных многогранников.

Правильную сеть, в которой из каждой вершины исходит ребер и каждая грань имеет П ребер, будем называть сетью типа Очевидно, — натуральные числа, причем

Возьмем выпуклый многогранник с правильной сетью ребер типа . Пусть — число его вершин, к — число его ребер, а — число его граней. Тогда, по теореме Эйлера

Каждая грань многогранника имеет П ребер, всего f граней, и каждое ребро принадлежит двум граням. Поэтому

Аналогично из каждой вершины многогранника исходит ребер, всего вершин , и каждое ребро соединяет две вершины. Поэтому

Выразив из (3) и (4) и подставив их в (2), получим:

Поэтому

Учитывая, что находим, что неравенству (6) удовлетворяют лишь пять следующих пар натуральных чисел (3,3); 2) (3,4); 3) (4,3); 4) (3,5); 5) (5,3). Они соответсвуют пяти типам правильных многогранников.

Окончательные результаты, в которых даны также числа вершин, ребер и граней правильных многогранников, найденные из равенств (5), (4), (3), приведены в таблице: