5.5. “Неравенство треугольника” для трехгранных углов и сферических треугольников.
Теорема. У любого трехгранного угла сумма углов двух его граней больше угла третьей грани.
Эта теорема равносильна для сферических треугольников такой теореме:
Теорема. У любого сферического треугольника сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
Рис. 5.8
Рассмотрим сферический треугольник ABC со сторонами 
и 
(рис. 5.8). Пусть а — наибольшая из его сторон. Тогда доказать надо лишь неравенство 
Проведем высоту AD в треугольнике ABC. Поскольку сторона ВС — наибольшая, то высота AD лежит внутри треугольника ABC и разбивает его на два прямоугольных треугольника ABD и ACD с общим катетом AD и катетами 
. Поскольку катет меньше гипотенузы, то 
. А тогда
